Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir benennen die x-Koordinate des Punktes P x. Die yKoordinate ist dann 1−x2, nachdem P auf der Kurve y=1−x2 liegt.

Die Fläche des Rechteckes ist

A(x)=(Basis)(Höhe)=x(1−x2)

Wir wollen diese Fläche in Bezug auf x maximieren.

Wir sehen von der Figur her dass P in der ersten Quadrante liegen muss, x0, und also y=1−x20, und wir erhalten dass x1. Also suchen wir das Maxima vonA(x) im Bereich 0x1.

Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:

1. stationäre Punkte, wo f(x)=0,
2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Die Funktion A(x)=x(1−x2) ist überall differenzierbar, so der wir müssen den 2:en Fall nicht beachten. Die Endpunkte A(0)=A(1)=0 können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima, siehe Figur).

Die Ableitung der Funktion ist

A(x)=1(1−x2)+x(−2x)=1−3x2

und wir erhalten die Gleichung x=13  für die stationären Punkte. Nur die Lösung x=13  erfüllt aber 0x1.

Die zweite Ableitung A(x)=−6x hat im stationären Punkt den Wert

A13=−6130

und also ist x=13  ein lokales Maxima.

Also ist der optimale Punkt P:

P=131−132=1332.