Lösung 2.1:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

y=−x2+2x+2=−x2−2x−2=−(x−1)2−12−2=−(x−1)2+3

Wir sehan dass die Funktion ein Parabel mit den Maxima y=3 wenn x=1 ist.

die Fläche die wir bestimmen soll ist im Bild geschattet.

Diese Fläche bestimmen wir mit den Integral

Fläche=ba−x2+2x+2dx

Wo a und b die Schnittstellen von der Parabel und der x-Achse sind, also die Wurzeln von

oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben),

oder auch

Die Gleichung hat also die Wurzeln x=13 , und also x=1−3  und x=1+3 .

Die Fläche ist also

Area=1+31−3−x2+2x+2dx.

Wir schreiben hier den Integranden in der quadratisch ergänzten Form.

Area=1+31−3−(x−1)2+3dx

Wir erhalten die die Stammfunktion,

Area= −3(x−1)3+3x 1+31−3.

und daher erhalten wir

Area=−3(1+3−1)3+3(1+3)−−3(1−3−1)3+3(1−3)=−3(3)3+3+33+3(−3)3−3+33=−3333+33+3(−3)(−3)(−3)+33=−333+33−333+33=−3+33−3+33=(−1+3−1+3)3=43.

Hinweis: Die Rechnungen werden unständiger wenn wir mit den Ausdruck

1+31−3−x2+2x+2dx=

rechnen.