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Lösung 2.1:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

y=x2+2x+2=x22x2=(x1)2122=(x1)2+3

Wir sehan dass die Funktion ein Parabel mit den Maxima y=3 wenn x=1 ist.

die Fläche die wir bestimmen soll ist im Bild geschattet.

Diese Fläche bestimmen wir mit den Integral

Fläche=bax2+2x+2dx 

Wo a und b die Schnittstellen von der Parabel und der x-Achse sind, also die Wurzeln von

0=x2+2x+2

oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben),

0=(x1)2+3

oder auch

(x1)2=3.

Die Gleichung hat also die Wurzeln x=13 , und also x=13  und x=1+3 .

Die Fläche ist also

Area=1+313x2+2x+2dx. 

Wir schreiben hier den Integranden in der quadratisch ergänzten Form.

Area=1+313(x1)2+3dx 

Wir erhalten die die Stammfunktion,

Area= 3(x1)3+3x 1+313. 

und daher erhalten wir

Area=3(1+31)3+3(1+3)3(131)3+3(13)=3(3)3+3+33+3(3)33+33=3333+33+3(3)(3)(3)+33=333+33333+33=3+333+33=(1+31+3)3=43.

Hinweis: Die Rechnungen werden unständiger wenn wir mit den Ausdruck

1+313x2+2x+2dx= 

rechnen.