Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir zeichnen die Kurven.

Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir dass die Fläche unten von der Geraden y=1 begrenzt ist, und oben von den Kurven y=x+2 und y=1x.

Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven x=a, x=b und x=c, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen x=a und x=b, wo die obere Grenze y=x+2 ist, und eine zwischen x=b und x=c wo y=1x die obere Grenze ist.

Die Flächen dieser Gebiete ist

Linke FlächeRechte Fläche=ba(x+2−1)dx=cbx1−1dx

und die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.

Wir suchen also die Schnittstellen:

• x=a: Die Schnittstelle von y=1 und y=x+2 erfüllt beide Gleichungen:

yy=1=x+2.

Dies ergibt x+2=1, und also x=−1. Daher ist a=−1.

• x=b: Die Schnittstelle von y=x+2 und y=1x erfüllt beide Gleichungen:

yy=x+2=1x.

Eliminieren wir y. erhalten wir eine Gleichung für x,

x+2=x1

die wir mit x multiplizieren,

x2+2x=1.

Quadratische Ergänzung ergibt:

(x+1)2−12(x+1)2=1=2

Die Wurzeln sind daher x=−12 , und dies ergibt

b=−1+2 . (Die Lösung b=−1−2  liegt links von x=a.)

• x=c: Dies ist die Schnittstelle von y=1 und y=1x, und also ist x=1, und daher c=1.

Die Teilflächen sind also

Linke FlächeRechte Fläche=2−1−1(x+2−1)dx=2−1−1(x+1)dx= 2x2+x −12−1=22−12+2−1−2(−1)2+(−1)=222−22+1+2−1−21+1=22−22+1+2−1−21+1=1−2+21+2−1−21+1=1=12−1x1−1dx= lnx−x 12−1=ln1−1−ln2−1−2−1=0−1−ln2−1+2−1=2−2−ln2−1.

und die gesamte Fläche ist

Fläche=(Linke Fläche)+(Rechte Fläche)=1+2−2−ln2−1=2−1−ln2−1.