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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir zeichnen die Kurven.

Zeichnen wir alle Kurven im selben Bild, sehen wir dass die Fläche unten von der Geraden y=1 begrenzt ist, und oben von den Kurven y=x+2 und y=1x.

Wir benennen die drei Schnittstellen der Kurven x=a, x=b und x=c, wie in der Figur gezeigt. Wir sehen so dass die Fläche in zwei Teilflächen eingeteilt werden kann. Eine zwischen x=a und x=b, wo die obere Grenze y=x+2 ist, und eine zwischen x=b und x=c wo y=1x die obere Grenze ist.

Die Flächen dieser Gebiete ist

Linke FlächeRechte Fläche=ba(x+2−1)dx=cbx1−1dx

und die gesamte Fläche ist die Summe der beiden Flächen.

Wir suchen also die Schnittstellen:

• x=a: Die Schnittstelle von y=1 und y=x+2 erfüllt beide Gleichungen:

yy=1=x+2.

Dies ergibt x+2=1, und also x=−1. Daher ist a=−1.

• x=b: Die Schnittstelle von y=x+2 und y=1x erfüllt beide Gleichungen:

yy=x+2=1x.

Eliminieren wir y. erhalten wir eine Gleichung für x,

x+2=x1

die wir mit x multiplizieren,

x2+2x=1.

Quadratische Ergänzung ergibt:

(x+1)2−12(x+1)2=1=2

Die Wurzeln sind daher x=−12 , und dies ergibt

b=−1+2 . (Die Lösung \displaystyle b=-1-\sqrt{2} liegt links von \displaystyle x=a\,.)

• \displaystyle x=c: Dies ist die Schnittstelle von \displaystyle y=1 und \displaystyle y=1/x\,, und also ist \displaystyle x=1\,, und daher \displaystyle c=1\,.

Die Teilflächen sind also

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Fläche} &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+2-1)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-1}^{\sqrt{2}-1} (x+1)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + x\ \Bigr]_{-1}^{\sqrt{2}-1}\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)^2}{2} + \sqrt{2} - 1 - \Bigl(\frac{(-1)^2}{2} + (-1) \Bigr)\\[5pt] &= \frac{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 - \frac{1}{2} + 1\\[5pt] &= 1\,,\\[10pt] \text{Rechte Fläche} &= \int\limits_{\sqrt{2}-1}^1 \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \ln |x| - x\ \Bigr]_{\sqrt{2}-1}^1\\[5pt] &= \ln 1 - 1 - \Bigl( \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr)-\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\Bigr)\\[5pt] &= 0 - 1 - \ln \bigl(\sqrt{2}-1\bigr) + \sqrt{2} - 1\\[5pt] &= \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align}

und die gesamte Fläche ist

\displaystyle \begin{align} \text{Fläche} &= \text{(Linke Fläche)} + \text{(Rechte Fläche)}\\[5pt] &= 1 + \sqrt{2} - 2 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\\[5pt] &= \sqrt{2} - 1 - \ln\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\,\textrm{.} \end{align}