Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir sehen dass die Ableitung des Nenners fast der Zähler ist,

(x2+2x+2)=2x+2=2(x+1)

Also ist das Integral

21x2+2x+2(x2+2x+2)dx.

Durch die Substitution u=x2+2x+2 erhalten wir ein einfacheres Integral,

x+1x2+2x+2dx=udu=x2+2x+2=(x2+2x+2)dx=2(x+1)dx=21udu=21lnu+C=21lnx2+2x+2+C.

Hinweis: Durch quadratische Ergänzung

x2+2x+2=(x+1)2−12+2=(x+1)2+1

sehen wir dass x2+2x+2 immer grösser als 1 ist, und daher können wir das betragszeichen auslassen,

21ln(x2+2x+2)+C.