3.2 Polarform

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Inhalt:

  • Die komplexe Zahlenebene
  • Addition und Subtraktion in der komplexen Zahlenebene
  • Betrag und Argument
  • Polarform
  • Multiplikation und Division in Polarform
  • Multiplikation mit i in der komplexen Zahlenebene

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Geometrisch die Arithmetischen Rechnungen in der komplexen Zahlenebene verstehen.
  • Komplexe Zahlen zwischen der Form a + ib und der Polarform umzuwandeln.

Die komplexe Zahlenebene

Nachdem eine komplexe Zahl \displaystyle z=a+bi aus einen Realteil \displaystyle a, und einen Imaginärteil \displaystyle b besteht, kann man eine komplexe Zahl \displaystyle z wie ein Zahlenpaar \displaystyle (a,b) in eine Koordinatensystem sehen. Dieses Koordinatensystem konstruieren wir indem wir eine reelle Achse und eine imaginäre Achse winkelrecht zu einander einzeichnen. Jetzt entspricht jede komplexe zahle einen eindeutigen Punkt in der komplexen Zahlenebene.


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Diese geometrische Interpretation von den komplexen Zahlen nennt man die kompleze Zahlenebene.


Anmerkung: Die reellen Zahlen sind komplexe wo der Imaginärteil 0 ist, und die also auf der reellen Achse liegen. Daher kann man die Erweiterung der reellen Zahlen zu den Komplexen Zahlen so sehen dass man die Dimension der Zahlengerade zu einer Ebene erweitert.

Generell kann man komplexe Zahlen wie Vektoren behandeln.


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Geometrisch erhält man die Zahl z + w indem man den Vektor von 0 bis w parallel zu z verschiebt. Die Subtraktion z - w kann wie z + (-w) geschrieben werden, und kann also geometrisch interpretiert also ob man den Vektor von 0 bis -w parallel bis z verschiebt.

Beispiel 1


Mit \displaystyle z=2+i und \displaystyle w=-3-i, zeichnen Sie \displaystyle z, \displaystyle w, \displaystyle \overline{z}, \displaystyle \overline{z}-\overline{w} und \displaystyle z-w in der komplexen Zahlenebene.

We have that
  • \displaystyle \overline{z}=2-i\,,
  • \displaystyle \overline{w}=-3+i\,,
  • \displaystyle z-w=2+i-(-3-i)
    \displaystyle \phantom{z-w}{}=5+2i\,,
  • \displaystyle \overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)
    \displaystyle \phantom{\overline{z} -\overline{w}}{}=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})\,.

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Notieren Sie dass die konjugiert komplexen Zahlen Spiegelbilder in der reellen Achse sind.

Beispiel 2

Zeichnen Sie alle Zahlen \displaystyle z in der komplexen Zahlenebene, die folgende Bedingungen erfüllen:

  1. \displaystyle \mathop{\rm Re} z \ge 3\,,
  2. \displaystyle -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2\,.

Die erste Ungleichung definiert die linke Fläche, und die zweite Ungleichung definiert die rechte Fläche.


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Alle Zahlen die Re z ≥ 3 erfüllen haben einen Realteil dass größer als to 3. Alle Zahlen die -1 < Im z ≤ 2 erfüllen haben einen Imaginärteil der zwischen  -1 und 2 liegt. Die untere Gerade ist geschattet, und dies bedeutet dass die Punkte auf dieser gerade nicht zum Gebiet.


Der Betrag komplexer Zahlen

Die reellen Zahlen können wir einfach ordnen, nachdem größere Zahlen rechts von kleineren Zahlen auf der Zahlengerade liegen.

Für komplexe Zahlen ist dies aber nicht möglich. Man kann die komplexen Zahlen nicht nach Größe ordnen. Zum Beispiel kann man nicht sagen ob \displaystyle z=1-i oder \displaystyle w=-1+i am größten ist. Mit den Begriff Betrag kann man aber einen Größenmaß auch für komplexe Zahlen einführen.


Für eine komplexe Zahl \displaystyle z=a+ib ist der Betrag \displaystyle |\,z\,| definiert wie

\displaystyle |\,z\,|=\sqrt{a^2+b^2}\,\mbox{.}

Wir sehen hier dass \displaystyle |\,z\,| eine reelle Zahl ist, und dass \displaystyle |\,z\,|\ge 0. Für eine reelle Zahl ist \displaystyle b = 0 und daher ist \displaystyle |\,z\,|=\sqrt{a^2}=|\,a\,|, wie gewohnt. Geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl der Abstand vom Punkt \displaystyle (0,0) zu einer komplexen Zahl mit den Koordinaten \displaystyle (a, b), durch das Gesetz des Pythagoras.

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Abstand zwischen komplexen Zahlen

Mit der Formen für den Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene, können wir den Abstand \displaystyle s zwischen zwei komplexen Zahlen \displaystyle z=a+ib und \displaystyle w=c+id (siehe Figur) mit der Abstandformel berechnen;

\displaystyle s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\,\mbox{.}

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Nachdem \displaystyle z-w=(a-c)+i(b-d), erhalten wir

\displaystyle |\,z-w\,|=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}={} der Abstand zwischen \displaystyle z und \displaystyle w.


Beispiel 3

Zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene die folgende menge:

  1. \displaystyle \,\, |\,z\,|=2

    Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen die den Abstand 2 zum Punkt \displaystyle (0,0) haben. Die Gleichung beschreibt also einen Kreis mit den Mittelpunkt \displaystyle (0,0) und den Radius 2.

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  1. \displaystyle \,\, |\,z-2\,|=1

    Diese Ungleichung ist von allen Zahlen erfüllt, deren Abstand von der Zahl 2 geringer als 1 ist. Also ein Kreis mit den Mittelpunkt \displaystyle z = 2 und den Radius 1.

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  1. \displaystyle \,\, |\,z+2-i\,|\le 2

    Die linke Seite kann wie \displaystyle |\,z-(-2+i)\,| geschrieben werden, und also beschreibt die Ungleichung alle Zahlen deren Abstand zur Zahl \displaystyle -2+i geringer als 2 ist. Dies ist ein kreis mit den Radius 2 und den Mittelpunkt \displaystyle -2+i.

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  1. \displaystyle \,\, \frac{1}{2}\le |\,z-(2+3i)\,|\le 1

    Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen deren Abstand zur Zahl \displaystyle z=2+3i zwishen \displaystyle \frac{1}{2} und \displaystyle 1 ist.

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Beispiel 4

Zeichnen Sie in der komplexen Zahlenebene alle Zahlen ein, die die folgende (Un)gleichungen erfüllen:


  1. \displaystyle \, \left\{ \eqalign{&|\,z-2i\,|\le 3\cr &1\le\mathop{\rm Re} z\le 2}\right.

    Die erste Ungleichung gibt dass die Zahlen im Kreis mit den Radius 3 un den Mittelpunkt \displaystyle 2i liegen müssen. Die zweite Ungleichung ist ein vertikaler Streifen von Zahlen deren Realteil zwischen 1 und 2 liegt. Die Zahlen die in beiden Gebieten liegen, erfüllen auch beide Ungleichungen.
  2. \displaystyle \, |\,z+1\,|=|\,z-2\,|

    Die Gleichung kann wie \displaystyle |\,z-(-1)\,|=|\,z-2\,| geschrieben werden. Also muss \displaystyle z denselben Abstand zu \displaystyle -1 wie zu \displaystyle 2 haben. Diese Bedienung ist von allen Zahlen \displaystyle z erfüllt, die das Realteil \displaystyle 1/2 haben.

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Das geschattete Gebiet besteht aus den Punkten die die Ungleichungen |z - 2i| ≤ 3 und 1 ≤ Re z ≤ 2 erfüllen. Die Zahlen die |z + 1| = |z - 2| erfüllen, liegen auf der Gerade von Zahlen deren Realteil 1/2 ist.


Polarform

Anstatt komplexe Zahlen \displaystyle z=x+iy mit den deren kartesischen Koordinaten zu beschreiben, kann man polare Koordinaten verwenden. Die Repräsentation von eine komplexen Zahl geschieht durch den Betrag und Argument (Winkel) der Zahl (siehe Figur).

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Nachdem \displaystyle \,\cos\alpha = x/r\, und \displaystyle \,\sin\alpha = y/r\, istmath>\,x = r\cos\alpha\,</math> und \displaystyle \,y= r\sin\alpha. Die Zahl \displaystyle z=x+iy kann also wie

\displaystyle z=r\cos\alpha + i\,r\sin\alpha = r(\cos\alpha + i\,\sin\alpha)\,\mbox{,}

geschrieben werden. Dies nennt man die Polarform der komlexen Zahl \displaystyle z. Der Winkel \displaystyle \alpha wird der Betrag von \displaystyle z genennt, und wird bezeichnet wie

\displaystyle \alpha=\arg\,z\,\mbox{.}

Den Winkel \displaystyle \alpha kann man bestimmen, indem man die Gleichung \displaystyle \tan\alpha=y/x löst. Nachdem diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, ist das Argument nicht eindeutig definiert. Meistens wählt man das Argument so dass es zwischen 0 und \displaystyle 2\pi oder zwischen \displaystyle -\pi und \displaystyle \pi liegt.


Die reelle Zahl \displaystyle r, ist der Abstand der Zahl zum Punkt (0,0), und ist also der Betrag der von \displaystyle z,

\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}=|\,z\,|\,\mbox{.}

Beispiel 5


Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in Polarform:

  1. \displaystyle \,\,-3

    Nachdem \displaystyle |\,-3\,|=3 und \displaystyle \arg (-3)=\pi, ist \displaystyle \ -3=3(\cos\pi+i\,\sin\pi).
  2. \displaystyle \,i

    Nachdem \displaystyle |\,i\,|=1 und \displaystyle \arg i = \pi/2 ist \displaystyle \ i=\cos(\pi/2)+i\,\sin(\pi/2)\,.
  3. \displaystyle \,1-i

    Der Betrag ist \displaystyle |\,1-i\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. Die Zahl liegt im vierten Quadrant, und hat den Winkel \displaystyle \pi/4 zu der positiven reellen Achse. Daher ist das Argument \displaystyle \arg (1-i)=2\pi-\pi/4=7\pi/4, und daher ist \displaystyle \ 1-i=\sqrt{2}\,\bigl(\cos(7\pi/4)+i\sin(7\pi/4)\,\bigr).
  4. \displaystyle \,2\sqrt{3}+2i

    Wir berechnen zuerst den Betrag,
    \displaystyle |\,2\sqrt{3}+2i\,|=\sqrt{(2\sqrt{3}\,)^2+2^2}=\sqrt{16}=4\,\mbox{.}

    Wir benennen das Argument \displaystyle \alpha. Das Argument erfüllt die Gleichung

    \displaystyle \tan\alpha=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

    und nachdem die Zahl im ersten Quadrant liegt. ist \displaystyle \alpha=\pi/6 und also

    \displaystyle 2\sqrt{3}+2i=4\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\,\sin\frac{\pi}{6}\bigr)\,\mbox{.}

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Multiplikation und Division in Polarform

Des große Vorteil mit der Polarform ist dass die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen sich sehr einfach beschreiben lässt. Für zwei komplexe Zahlen, \displaystyle z=|\,z\,|\,(\cos\alpha+i\sin\alpha) und \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos\beta+i\sin\beta), kann man mit Hilfen von trigonometrischen Identitäten zeigen dass

\displaystyle \begin{align*}z\, w&=|\,z\,|\,|\,w\,|\,\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\,\sin(\alpha+\beta)\bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{w}&=\frac{|z|}{|w|}\bigl(\cos(\alpha-\beta)+i\,\sin(\alpha-\beta)\bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

Wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert, sind deren Beträge multipliziert, und deren Argumente addiert, Wenn man zwei komplexe Zahlen mit einender dividiert, werden deren Beträge dividiert, und deren Argumente subtrahiert. Zusammengefasst gilt also:

\displaystyle |\,z\, w\,|=|\,z\,|\, |\,w\,|\quad \mbox{and}\quad \arg(z\, w)=\arg\,z + \arg\,w\,\mbox{,}
\displaystyle \Bigl|\,\frac{z}{w}\,\Bigr|=\frac{|\,z\,|}{|\,w\,|}\quad\quad\quad\; \mbox{ and}\quad \arg\Bigl(\frac{z}{w}\Bigr)=\arg \,z - \arg\,w\,\mbox{.}


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Beispiel 6


Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke indem Sie die Ausdrücke auf Polarform schreiben:

  1. \displaystyle \Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl( -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr)

    Wir schreiben den Zähler und Nenner jeweils in Polarform
    \displaystyle \begin{align*}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\times\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\times\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align*}

    Es folgt jetzt dass

    \displaystyle \begin{align*}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align*}

  2. \displaystyle (-2-2i)(1+i)

    Wir schreiben die beiden Faktoren jeweils in Polarform
    \displaystyle \begin{align*}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

    Durch die Multiplikationsregeln von der Polarform folgt es dass

    \displaystyle \begin{align*}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \times \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 7


  1. Vereinfachen Sie \displaystyle iz und \displaystyle \frac{z}{i} wennmath>\ z=2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)</math>. Antworten Sie in Polarform.

    Nachdem \displaystyle \ i=1\times \left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)\ folgt es dass
    \displaystyle \begin{align*} iz &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 2\Bigl(\cos\frac{-\pi}{3}+i\,\sin\frac{-\pi}{3}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

  2. Vereinfachen Sie \displaystyle iz und \displaystyle \frac{z}{i} wenn \displaystyle \ z=3\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)\,. Antworten Sie in Polarform.

    Wir schreiben \displaystyle i in Polarform und erhalten;
    \displaystyle \begin{align*} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align*}

Man sagt dass die Multiplikation mit i zu einer Umdrehung mit den Winkel \displaystyle \pi/2 gegen den Uhrzeigersinn führt.

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Komplexe Zahlen z, iz und z/i wo |z| = 2 and arg z = π/6. Komplexe Zahlen z, iz und z/i wo |z| = 3 and arg z = 7π/4.