Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir bringen z und −1−i auf Polarform

z−1−i=r(cos+isin)=2cos45+isin45.

Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung

r5(cos5+isin5)=2cos45+isin45.

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten, und erhalten

r55=2=45+2n(n is an arbitrary integer).

(Die Argumente 5 und 54 können sich mit einen Multipel von 2 unterscheiden, und trotzdem dieselbe komplexe Zahl entsprechen.)

Wir erhalten also

r=52=21215=2110=5145+2n=4+52n(n is an arbitrary integer).

Wir sehen dass das Argument nur 5 verschiedene Werte annimmt

4, 4+52, 4+54, 4+56 and 4+58

Nachdem sich die Winkeln dann wiederholen.

Die Wurzeln sind also

z=2110cos4+52n+isin4+52n

für n=0, 1, 2, 3 und 4.