Processing Math: 60%

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung,

z−21+3i2−21+3i2−4+3iz−21+3i2−41+23i+49i2−4+3iz−21+3i2−41−23i+49−4+3iz−21+3i2−2+23i=0=0=0=0

Lassen wir w=z−21+3i erhalten wir die Gleichung

w=2−23i.

Gleichungen wie diese Löst man normalerweise mit den Moivreschen Satz. In diesen Fall entsteht aber dass Problem das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir w=x+iy sein, und versuchen x und y zu bestimmen.

Substituieren wir w=x+iy, erhalten wir die Gleichung

(x+iy)2=2−23i

wir erweitern die linke Seite

x2−y2+2xyi=2−23i.

Lassen wir den Real- und Imaginärteil gleich sein, erhalten wir die Gleichungen

x2−y22xy=2=−23.

Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung die wir verwenden können, nämlich

(x+iy)2=2−23i

Berechnen wir den betrag von beiden Seiten erhalten wir

x2+y2=22+−232

also

x2+y2=25.

Jetzt haben wir drei Gleichungen,

x2−y22xyx2+y2=2=−23=25.

Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir

	x2	−	y2	=	2
+	x2	+	y2	=	25
	2x2			=	29

und dies ergibt x=23. Subtrahieren wir die erste Gleichung von der Dritten, erhalten wir,

	x2	+	y2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle -\ \	\displaystyle \bigl(x^2	\displaystyle {}-{}	\displaystyle y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle 2\rlap{\bigr)}
			\displaystyle 2y^2	\displaystyle {}={}	\displaystyle \tfrac{1}{2}

Und also ist \displaystyle y=\pm\tfrac{1}{2}. Dies ergibt vier mögliche Lösungen.

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right.

Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung, \displaystyle 2xy=-\tfrac{3}{2}, nämlich

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad\text{and}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right.

Daher erhalten wir die Lösungen

\displaystyle w=\frac{3-i}{2}\quad and \displaystyle \quad w=\frac{-3+i}{2}\,,

oder, in \displaystyle z,

\displaystyle z=2+i\quad und \displaystyle \quad z=-1+2i\,\textrm{.}

Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren dass wir richtig gerechnet haben,

\displaystyle \begin{align} z={}\rlap{2+i:}\phantom{-1+2i:}{}\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (2+i)^2 - (1+3i)(2+i) - 4 + 3i\\[5pt] &= 4+4i+i^2-(2+i+6i+3i^2)-4+3i\\[5pt] &= 4+4i-1-2-7i+3-4+3i\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z=-1+2i:\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (-1+2i)^2-(1+3i)(-1+2i)-4+3i\\[5pt] &= (-1)^2-4i+4i^2-(-1+2i-3i+6i^2)-4+3i\\[5pt] &= 1-4i-4+1+i+6-4+3i\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}