Lösung 1.3:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, mit f(x)=0,
2. Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Endpunkte.

Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

Die stationären Punkte erhalten wir mitden Nullstellen der Ableitung

f(x)=−4x3+83x2−182x=−4x3+24x2−36x=−4x(x2−6x+9)

Im letzten Schritt, sehen wir, dass die Ableitung null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung,

und erhalten

diese Gleichung hat die Wurzel x=3.

Also hat Ableitung die Nullstellen x=0 und x=3.

Nachdem die Ableitung

f(x)=−4x(x−3)2

ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren −4x und (x−3)2.

Mit den Rechenregeln ++=+, −+=− und −−=+ für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:

Hier sehen wir dass \displaystyle x=0 ein lokales Minimum ist, und dass \displaystyle x=3 ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).