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3.1 Rechnungen mit komplexen Zahlen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Inhalt:

  • Real- und Imaginärteil
  • Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen
  • Komplexe Konjugation
  • Multiplikation und Division von komplexen Zahlen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man komplexe Ausdrücke mit den vier Grundrechenarten vereinfacht.
  • wie man komplexe Gleichungen löst und die Antwort vereinfacht.

A - Einführung

Obwohl die reellen Zahlen die ganze Zahlengerade füllen, gibt es algebraische Gleichungen, die keine Lösungen in den reellen Zahlen haben. Gleichungen mit der Form

anxn+an−1xn−1++a1x+a0=0

haben nicht immer Lösungen in den reellen Zahlen. Zum Beispiel hat die Gleichung x2+1=0 keine reellen Lösungen, nachdem keine reelle Zahl x2=−1 erfüllt. Wir können uns aber vorstellen, dass wir −1  als die Zahl definieren, die die Gleichung x2=−1 erfüllt und so rechnen als wäre −1  eine normale Zahl. Obwohl die Zahl −1  nicht messbar ist, gibt es viele Anwendungen, wo genau diese Zahl sehr nützlich ist.


Beispiel 1

Wenn wir die Summe der Wurzeln (Lösungen) zur Gleichung x2−2x+2=0 suchen, finden wir zuerst die Wurzeln x1=1+−1  und x2=1−−1 . Diese Wurzeln enthalten −1 . Wenn wir ganz normal mit −1  rechnen, sehen wir, dass die Summen von x1 und x2 1+−1+1−−1=2  eine ganz normale reelle Zahl ist.

Obwohl die Antwort reell war, haben wir die "imaginäre" Zahl −1  angewendet, um die Antwort zu erhalten.


B - Definition der komplexen Zahlen

Die Begriffe "reell" (für normale Zahlen) und "imaginär" (für Zahlen wie −1 ) sind etwas irreführend, nachdem alle Zahlen menschliche Konstruktionen sind. Trotzdem verwendet man noch heutzutage diese Begriffe, die einmal durch die Skepsis für Zahlen wie −1  entstanden.

Da die Zahl −1  nicht durch eine Dezimalbruchentwicklung geschrieben werden kann, wie es zum Beispiel bei 2  möglich ist, müssen wir solche Zahlen mit einer besonderen Einheit beschreiben. Diese Einheit nennt man gewöhnlich i (oder manchmal auch j). Die Zahl i wird als "imaginäre Einheit" bezeichnet, und Zahlen auf der Form bi, wo b reell ist, werden "imaginäre Zahlen" genannt. Eine komplexe Zahl ist eine Zahl mit der Form

z=a+bi,

wo a und b reelle Zahlen sind und i die Gleichung i2=−1 erfüllt.

Wenn a=0 nennt man die Zahl "rein imaginär". Wenn b=0 ist die Zahl reell. Die reellen Zahlen sind also eine Teilmenge der komplexen Zahlen, die wir mit C bezeichnen.

Eine beliebige komplexe Zahl bezeichnet man meistens mit z. Wenn z=a+bi, wo a und b reell sind, ist a der Realteil und b der Imaginärteil von z. Für diese verwendet man folgende Bezeichnungen

ab=Rez,=Imz.

Wenn man mit komplexen Zahlen rechnet, rechnet man genauso wie mit reellen Zahlen, aber man beachtet, dass i2=−1.


Addition und Subtraktion

Wenn man zwei komplexe Zahlen addiert, addiert man jeweils deren Real- und Imaginärteil für sich.

Wenn z=a+bi und w=c+di zwei komplexe Zahlen sind, dann ist

z+wz−w=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i,=a+bi−(c+di)=a−c+(b−d)i.

Beispiel 2

  1. (3−5i)+(−4+i)=−1−4i
  2. 21+2i−61+3i=31−i 
  3. 53+2i−23−i=106+4i−1015−5i=10−9+9i=−0.9+0.9i


C - Multiplikation

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist genauso wie die Multiplikation von reellen Zahlen definiert, nur unter der zusätzlichen Bedingung, dass i2=−1. Allgemein gilt für zwei komplexe Zahlen z=a+bi und w=c+di, dass

zw=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i.

Beispiel 3

  1. 3(4−i)=12−3i
  2. 2i(3−5i)=6i−10i2=10+6i
  3. (1+i)(2+3i)=2+3i+2i+3i2=−1+5i
  4. (3+2i)(3−2i)=32−(2i)2=9−4i2=13
  5. (3+i)2=32+23i+i2=8+6i
  6. i12=(i2)6=(−1)6=1
  7. i23=i22i=(i2)11i=(−1)11i=−i


D - Komplexe Konjugation

Wenn z=a+bi nennt man z=a−bi die zu z komplex konjugierte Zahl. (Das Gegenteil gilt auch, nämlich, dass z die konjugiert komplexe Zahl von z ist). Man erhält dadurch folgende Regeln

z+zz−z=a+bi+a−bi=2a=2Rez,=a+bi−(a−bi)=2bi=2iImz,

Am wichtigsten ist aber, dass man, wenn man die Regel der Differenz von zwei Quadraten anwendet, folgendes erhält

zz=(a+bi)(a−bi)=a2−(bi)2=a2−b2i2=a2+b2,

Das Produkt von zwei konjugiert komplexen Zahlen ist also immer reell.


Beispiel 4

  1. z=5+i wird zu z=5−i.
  2. z=−3−2i wird zu z=−3+2i.
  3. z=17 wird zu z=17.
  4. z=i wird zu z=−i.
  5. z=−5i wird zu z=5i.

Beispiel 5

  1. Wenn z=4+3i erhält man
    • z+z=4+3i+4−3i=8
    • z−z=6i
    • zz=42−(3i)2=16+9=25
  2. Wenn man für z Rez=−2 und Imz=1 einsetzt, erhält man
    • z+z=2Rez=−4
    • z−z=2iImz=2i
    • zz=(−2)2+12=5


E - Division

Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen zu berechnen, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner, wobei man einen reellen Nenner erhält. Wenn z=a+bi und w=c+di gilt im Allgemeinen:

zw=c+dia+bi=(c+di)(c−di)(a+bi)(c−di)=c2+d2(ac+bd)+(bc−ad)i=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi

Beispiel 6

  1. 1+i4+2i=(1+i)(1−i)(4+2i)(1−i)=1−i24−4i+2i−2i2=26−2i=3−i


  2. 253−4i=25(3+4i)(3−4i)(3+4i)=32−16i225(3+4i)=2525(3+4i)=3+4i


  3. i3−2i=i(−i)(3−2i)(−i)=−i2−3i+2i2=1−2−3i=−2−3i

Beispiel 7

  1. 22−i−i1+i=2(2+i)(2−i)(2+i)−i(1−i)(1+i)(1−i)=54+2i−21+i


    =108+4i−105+5i=103−i
  2. 1−21−i2i+i2+i=1−i1−i−21−i(2+i)2i(2+i)+i2+i=1−i1−i−22+i4i+2i2+i=1−i−1−i2+i−2+5i


    =1−i−1−i2+i−2+5i=(−1−i)(2+i)(1−i)(−2+5i)=−2−i−2i−i2−2+5i+2i−5i2


    =3+7i−1−3i=(3+7i)(3−7i)(−1−3i)(3−7i)=32−49i2−3+7i−9i+21i2

    =58−24−2i=29−12−i

Beispiel 8

Bestimme die reelle Zahl a so, dass der Ausdruck  2+ai2−3i  reell ist.

Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner, sodass wir den Ausdruck in Real- und Imaginärteil aufteilen können.

(2+ai)(2−ai)(2−3i)(2−ai)=4−a2i24−2ai−6i+3ai2=4+a24−3a−(2a+6)i

Der Ausdruck ist reell, wenn der Imaginärteil 0 ist, also

2a+6=0a=−3.


F - Gleichungen

Wenn zwei komplexe Zahlen z=a+bi und w=c+di gleich sind, müssen deren Real- und Imaginärteile gleich sein und daher ist a=c und b=d. Wenn man komplexe Gleichungen mit der Unbekannten z löst, schreibt man oft z=a+bi und vergleicht die Real- und Imaginärteile der beiden Seiten der Gleichung miteinander.

Beispiel 9

  1. Löse die Gleichung 3z+1−i=z−3+7i.

    Wir sammeln alle z auf der linken Seite der Gleichung, indem wir z von beiden Seiten subtrahieren
    2z+1−i=−3+7i

    Jetzt subtrahieren wir 1−i von beiden Seiten,

    2z=−4+8i.
    Also ist  z=2−4+8i=−2+4i.
  2. Löse die Gleichung z(−1−i)=6−2i.

    Wir dividieren beide Seiten durch −1−i um z zu erhalten.
    z=6−2i−1−i=(6−2i)(−1+i)(−1−i)(−1+i)=(−1)2−i2−6+6i+2i−2i2=2−4+8i=−2+4i.
  3. Löse die Gleichung 3iz−2i=1−z.

    Wir addieren z und 2i auf beiden Seiten und erhalten
    3iz+z=1+2iz(3i+1)=1+2i.

    Das ergibt

    z=1+3i1+2i=(1+3i)(1−3i)(1+2i)(1−3i)=1−9i21−3i+2i−6i2=107−i.
  4. Löse die Gleichung 2z+1−i=z+3+2i.

    Die Gleichung enthält z und z. Deshalb ist es am einfachsten, wenn wir annehmen, dass z=a+ib und die Gleichung für a und b lösen, indem wir den Real- und Imaginärteil jeder Seite Identifizieren.
    2(a+bi)+1−i=(a−bi)+3+2i

    Also

    (2a+1)+(2b−1)i=(a+3)+(2−b)i,

    das ergibt

    2a+12b−1=a+3=2−bab=2=1. 
    Die Antwort ist daher z=2+i.


Tipps fürs Lernen

Beachte folgendes:

Man rechnet mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen, nur beachtet man hier auch, dass i2=−1.

Komplexe Brüche berechnet man, indem man den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert.

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