Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Eine Gleichung der Form "\displaystyle z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}" löst man indem man alle Zahlen auf Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.

Wir bringen zuerst \displaystyle z und \displaystyle 1 auf Polarform

\displaystyle \begin{align} z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] 1 &= 1(\cos 0 + i\sin 0)\,\textrm{.} \end{align}

und erhalten die Gleichung

\displaystyle r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,

wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit dir rechte und die linke Seite gleich sein sollen, müssen deren Betrag gleich sein und auch deren Argument darf sich nur mit einen Multipel von \displaystyle 2\pi unterscheiden,

\displaystyle \left\{\begin{align} r^{4} &= 1\,,\\[5pt] 4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige natürliche Zahl})\,\textrm{.} \end{align}\right.

Also ist

\displaystyle \left\{\begin{align} r &= 1\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).} \end{align}\right.

und die Wurzeln sind:

\displaystyle z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3

Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich \displaystyle 0, \displaystyle \pi/2, \displaystyle \pi und \displaystyle 3\pi/2, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von \displaystyle 2\pi\, von diesen Winkeln unterscheidet.

Die Wurzeln sind daher

\displaystyle z=\left\{\begin{align} &1\cdot(\cos 0 + i\sin 0)\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos (\pi/2) + i\sin (\pi/2))\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos \pi + i\sin \pi)\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos (3\pi/2) + i\sin (3\pi/2))\,, \end{align}\right. = \left\{ \begin{align} 1\,,&\\[5pt] i\,,&\\[5pt] -1\,,&\\[5pt] -i\,\textrm{.}& \end{align}\right.

Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, nachdem wir 4 verschiedene Lösungen haben.