Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

y=−x2+2x+2=−x2−2x−2=−(x−1)2−12−2=−(x−1)2+3.

Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum y=3 bei x=1 ist.

Die Fläche, die wir bestimmen sollen, ist im Bild schraffiert.

Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral

Fläche=ba−x2+2x+2dx

wobei a und b die Schnittstellen der Parabel und der x-Achse sind, also die Wurzeln von

0=−x2+2x+2

oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben)

0=−(x−1)2+3,

also

(x−1)2=3.

Die Gleichung hat also die Wurzeln x=13   , x=1−3  und x=1+3  .

Die Fläche ist also

Fläche=1+31−3−x2+2x+2dx.

Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.

Fläche=1+31−3−(x−1)2+3dx

So erhalten wir die Stammfunktion

Fläche= −3(x−1)3+3x 1+31−3 .

Daraus folgt

Fläche=−3(1+3−1)3+3(1+3)−−3(1−3−1)3+3(1−3)=−3(3)3+3+33+3(−3)3−3+33=−3333+33+3(−3)(−3)(−3)+33=−333+33−333+33=−3+33−3+33=(−1+3−1+3)3=43.

Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck

1+31−3−x2+2x+2dx=

rechnen.