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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Zuerst betrachten wir den Graphen, der unser Gebiet einschließt. Die Kurven y=x24+2 und y=8−x28 sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat ihr Minimum y=2 wenn x=0 und die zweite das Maximum y=8 wenn x=0. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.

Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion y=8−x28 und die untere Grenze die Funktion y=x24+2. Bestimmen wir die Schnittstellen x=a und x=b der beiden Kurven, ist die Fläche

Fläche=ba8−81x2−41x2+2dx.

Die Fläche ist das Integral der Differenz zwischen den beiden Funktionen.

Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung:

yy=8−81x2=41x2+2.

Eliminieren wir y und lösen die Gleichung für x, erhalten wir die Schnittstellen.

8−81x2=41x2+2

oder

41x2+81x2=8−2,

also ist

41+81x283x2x2=6=6=16.

Also sind die Schnittstellen x=−4 und x=4.

Die Fläche zwischen den Kurven ist also

Fläche=4−48−81x2−41x2+2dx=4−48−81x2−41x2−2dx=4−46−81+41x2dx=4−46−83x2dx= 6x−833x3 4−4= 6x−8x3 4−4=64−843−6(−4)−8(−4)3=24−8+24−8=32.