Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.

Methode 1 (partielle Integration)

Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt

1lnx

betrachten, den 1:er integrieren und lnx ableiten.

1lnxdx=xlnx−xx1dx=xlnx−1dx=xlnx−x+C

Methode 2 (Substitution und partielle Integration)

Wir substituieren u=lnx. So erhalten wir das Verhältnis

du=(lnx)dx=x1dx

und da u=lnx, ist x=eu und dadurch erhalten wir

du=1eudxdx=eudu.

Also haben wir

lnxdx=udx=lnx=eudu=ueudu.

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Intagration

ueudu=ueu−1eudu=ueu−eudu=ueu−eu+C=(u−1)eu+C

und wir erhalten

lnxdx=(lnx−1)elnx+C=(lnx−1)x+C.