3.3:2c alternativ exp

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

z5=−1−i

stelle−1−i exponential dar:

−1−i=r(cos+isin)=rei wobei r=Betrag und =Argument

r=−1−i=(−1)2+(−1)2=2  Dann:

−1−i=2(2−2−22i) 

Gesucht werden alle Winkeln , für die gilt:

cos=2−2  und sin=2−2 

=4++2n=45+2n mit nZ

Also z5=−1−i=2ei(45+2n) 

z=52ei(45+2n)=22151ei51(45+2n)=2110ei(4+52n) 

Die Gleichung z5=−1−i hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

1. n=0 : z=2110ei(4)

2. n=1 : z=2110ei(2013)

3. n=2 : z=2110ei(2021)

4. n=3 : z=2110ei(2029)

5. n=4 : z=2110ei(2037)