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3.3:2c alternativ exp

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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z5=1i

stelle1i exponential dar:

1i=r(cos+isin)=rei wobei r=Betrag und =Argument

r=1i=(1)2+(1)2=2  Dann:

1i=2(2222i) 

Gesucht werden alle Winkeln , für die gilt:

cos=22  und sin=22 

=4++2n=45+2n mit nZ

Also z5=1i=2ei(45+2n) 

z=52ei(45+2n)=22151ei51(45+2n)=2110ei(4+52n) 

Die Gleichung z5=1i hat die Ordnung 5, d.h es gibt 5 verschiedene Lösungen:

1. n=0 : z=2110ei41 (falls es schlecht zu lesen ist: 2 hoch 110 mal e hoch i41)

2. n=1 : z=2110ei2013

3. n=2 : z=2110ei2021

4. n=3 : z=2110ei2029

5. n=4 : z=2110ei2037