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ZusatzStoffTUB

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Zusätzlicher Stoff im Präsenzbrückenkurs der TU Berlin

Inhalt:

  • erster Punkt
  • zweiter Punkt
  • dritter Punkt

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • erstes Ziel
  • zweites Ziel

Inhaltsverzeichnis

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3.1. Geometrie im Raum

A - Vektoren des R3 

BESCHREIBUNG

C - (Standart-)Skalarprodukt im R3 ("Punktprodukt")

Fuer v=v1v2v3 und w=w1w2w3:


vw:=v1w1+v2w2+v3w3=vw
vwR


(analog im R2
vw=v1v2w1w2=v1w1+v2w2 )

Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobie man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhaelt, waehrend man bei der skalaren Multiplikation einen Vekotor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhaehlt.

Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts

Verknuefung von Winkel und Laenge ueber

vw=vwcos(vw)

Begruendung: Betrachte die Vektoren vw 

BILD

w=w0  v=ab  v=a2+b2  cos=AnkatheteHypothenuse=av=aa2+b2a=vcos <bar>Dann ist vw=w0ab=w0vcosb=wvcos+0b=wvcos 

Die Begruendung ist fuer alle Vektoren gueltig, da man die Vektoren so drehen kann, dass w parallel zur x-Achse ist und v in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unveraendert. In der Linearen Algebra fuer Ingenieure wird dieses auch nochmal genauer erklaert.

Folgerungen

Fuer vw=0 ist vw=0cosvw=0vw "v orthogonal zu w"

Fuer v=w ist vv=vvcos0=v2 also v=v12+v22+v32  (vgl. v=v12+v22  in R2, Pytagoras 3D)

Skalarprodukt: - bei gleicher Groesse Laenge - Winkelgroessen - Wissen wann Winkel senkrecht

Beispiel cos(vw)=vwvw a=2−31b=314 cos(ab)=23+(−3)1+144+9+19+1+16=7142603669 Winkel zwischen a,b : (ab)6848

Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")

Im R3 definiere v1v2v3w1w2w3=v2w3−v3w2v3w1−v1w3v1w2−v2w1.

Eigenschaften von u=vw

  1. \vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}
    Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/ZusatzStoffTUB“