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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Zusätzlicher Stoff im Präsenzbrückenkurs der TU Berlin

Inhaltsverzeichnis [Verbergen] 1 3.1. Geometrie im Raum 2 A - Vektoren des \displaystyle R^3 3 C - (Standart-)Skalarprodukt im \displaystyle R^3 ("Punktprodukt") 4 Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts 5 Folgerungen 6 Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt") 7 Spatprodukt 8 Funktionen 9 3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

3.1. Geometrie im Raum

A - Vektoren des R3

BESCHREIBUNG

C - (Standart-)Skalarprodukt im R3 ("Punktprodukt")

(analog im R2
vw=v1v2w1w2=v1w1+v2w2 )

Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobie man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhaelt, waehrend man bei der skalaren Multiplikation einen Vekotor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhaehlt.

Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts

Mit dem Skalarprodukt lassen sich Winkel und Laenge zweier Vektoren miteinander verknuepfen. Hierbei gilt

Eine Begruendung hierfuer ist: Betrachte die Vektoren vw

BILD

w=w0  v=ab  v=a2+b2  cos=AnkatheteHypothenuse=av=aa2+b2a=vcos <bar>Dann ist vw=w0ab=w0vcosb=wvcos+0b=wvcos 

Die Begruendung ist fuer alle Vektoren gueltig, da man die Vektoren so drehen kann, dass w parallel zur x-Achse ist und v in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unveraendert. In der Linearen Algebra fuer Ingenieure wird dieses auch nochmal genauer erklaert.

Folgerungen

Aus diesem Zusammenhang zwischen Winkel und Laenge lassen sich folgende Schluesse aus dem Skalarprodukt ziehen.

1. Fuer vw=0 ist vw=0cosvw=0vw "v orthogonal zu w"
2. Fuer v=w ist vv=vvcos0=v2 also \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} (vgl. \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2} in \displaystyle R^2, Pytagoras 3D)

Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")

Eine weitere Moeglichkeit Vektoren zu verknuepfen bietet das das Kreuzprodukt.

Eigenschaften von \displaystyle \vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}

1. \displaystyle \vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}
2. \displaystyle ||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}
3. \displaystyle \vec{v} \text{(Daumen)}, \vec{w} \text{(Zeigefinger) und } \vec{u} \text{(Mittelfinger)} sind Rechtssystem (s.o.)
4. \displaystyle \vec{v} \times \vec{v}=\vec{0}
5. \displaystyle \vec{w} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{w}

Bemerkungen und Beweise

zu 1.

\displaystyle <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3 \displaystyle =v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0 Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren \displaystyle \vec{u} und \displaystyle \vec{v} 0 ergibt wissen wir, dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind. Dieses macht die Suche nach einem orthogonalen Vektor einfach.

Dieses gilt analog fuer \displaystyle <\vec{u}, \vec{w}>.

zu 2.

\displaystyle ||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w})}
ist der Flaecheninhalt des von \displaystyle \vec{v}, \vec{w} aufgespannten Parallelogramms. \displaystyle h = ||\vec{w} || \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}

BILD

zu 3. sparen

zu 4. aus (2) oder Def

zu 5. Def.

Bild

Beispiel fuer Kreuzprodukt

BILD

Ladung q mit Geschw. \displaystyle \vec{v} in Feld \displaystyle \vec{B} \displaystyle \vec{F}= q \vec{v} \times \vec{B}

Spatprodukt

Fuer \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \in R ^3 setze

\displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} = <(\vec{a} \times \vec{b}),\vec{c}>. Ergebnis: Skalar \displaystyle ||\vec{} \times \vec{} || ||\vec{} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b , \vec{c}}} \displaystyle ||\vec{} || ||\vec{} || ||\vec{} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b , \vec{c}}} \sin{\vec{a} , \vec{b}} \displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} ist das Volumen von \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} aufgespannten Spats.

Bild

Funktionen

bisher: \displaystyle f : R \rightarrow R \displaystyle x \mapsto f(x) \displaystyle Wertebereich \rightarrow Bildbereich ("\displaystyle \rightarrow " "ist Funktion von ... nach ...") ("\displaystyle \mapsto " bildet Element x ab auf f(x))

nuetzlich: groessere Werte-/Bildbereiche.

Beispiele Raumkurven (als Funktion der Zeit)

1. Flugkurven eine UFOs im Laufe der Zeit \displaystyle f: R \rightarrow R^3 \displaystyle t \mapsto \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} (Koordinaten des UFOs zur Zeit t. (z.B. gerade!)
2. Position des Randpunktes R als Funktion der Zeit: \displaystyle f: R \rightarrow R^2 \displaystyle t \mapsto \begin{pmatrix} \sin{(wt)} \\ \cos{(wt)} \end{pmatrix} w: Frequenz der Drehung BILD Drehscheibe MP:(0,0)
3. Satelitenfilm: Messung Wolkendichte (0- 100%) in jedem Punkt \displaystyle f: R^2 \rightarrow R (genauer \displaystyle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}), f(x,y)= Wolkendichte in % "Skalarwertig"
4. wie oben: Sattellitenfilm, In jedem Punkt: Wolkengeschw. f: \displaystyle R^2 \rightarrow R^2 f(x,y)= \displaystyle \begin{pmatrix} v_x(x,y) \\ v_y(x,y) \end{pmatrix} "Vektorwertig"

3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1. Moegliche Loesungsmengen Beispiel: Schnittpunkte von zwei Geraden

\displaystyle g: y= \frac{1}{2}x=2
\displaystyle h: y= -3x+7
Standartform fuer Lineare Gleichungssysteme (LGS): Variablen links, Zahlen rechts
\displaystyle g: \frac{1}{2}x-y=-2(*)
\displaystyle h: 3x+y=7(*)

Das Loesungspaar muss hier beide Gleichunge erfuellen. Betrachte hierfuer die Loesungsmehe von (*) L={(x,y) |(x,y) erfuellt beide Gleichungen aus (*)}

Fuer die Loesungsmenge gibt es drei Moeglichkeiten (bei ALLEN linearen Gleichungssystemen)

Bild (2 Geraden g und h mit einem Schnittpunkt)

eine Loesung

Bild (2 Geraden g und h, die parallel zueinander sind)

keine Loesung \displaystyle L=\not \circ

Bild (Gerade g=h)

unendlich viele Loesungen

Loesungsverfahren fuer LGS
Wie gewoehnlich bei linearen Gleichungen, kann man

• Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl
• Umstellen einer Gleichung

zusaetzlich jedoch kann man

• eine Gleichung durch die Summe von zwei Gleichungen aus LGS ersetzen.

Beispiel:
\displaystyle \begin{array} (1) & -\frac{1}{2}x & + & y & = & 2 & | \cdot (-1) \\ (2) & 3x & + & y & = & 7 \\ & \\ \rightarrow & \frac{1}{2}x & - & y & = & -2 & \downarrow + \\ & 3x & + & y & = & 7 & \\ \rightarrow & \frac{1}{2}x & - & y & = & -2 \\ & \frac{7}{2}x & & & = & 5 &| : \left(\frac{7}{2}\right) \\ & \\ & & & x & = & \frac{10}{7}\\ \end{array}

Einsetzen in (1) \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{7} - y= -2 \displaystyle \Leftrightarrow \frac{5}{7} + 2= y \displaystyle \Leftrightarrow \frac{19}{7}= y

\displaystyle L={(\frac{10}{7}, \frac{19}{7})}

Groessere Gleichungssysteme: Systematisches Loesen (1. Fall) \displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & 3x & - & y & + & z & = & 0 & | & (-3)\cdot (I) + (II) \\ (III) & -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 & | & (I) + (III) \\ \end{array} Elimination der ersten Variable ab der 2. Spalte \displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & & - & 7y & + & 4z & = & -9 & \\ (III) & & + & 4y & + & z & = & 4 & | & 4\cdot (II) + 7\cdot (III) \\ \end{array}

\displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & & - & 7y & + & 4z & = & -9 & \\ (III) & & & & & 23z & = & -8 & | & 4\cdot (II) + 7\cdot (III) \\ \end{array}

Obere Dreiecksform, Loesen durch Rueckwaertseinsetzen.

(III) \displaystyle z=-\frac{8}{23} (II) \displaystyle -7x-4\cdot \frac{8}{23}= -9 \displaystyle -7y = - \frac{175}{23} \displaystyle y= \frac{25}{23} (I) \displaystyle x= -2y + z + 3 \displaystyle = \frac{50}{23} - \frac{8}{23} +3 = \frac{11}{23}

\displaystyle L={(\frac{11}{23}, \frac{25}{23}, -\frac{175}{23})}

Das Gleiche kann auch ohne Variablen aufgeschrieben werden, so spart man sich Schreibarbeit und die Gleichungen werden uebersichtlicher.

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 2 & 2 & | & 1 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 4 & 1 & | & 4 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 0 & 23 & | & -8 \\ \end{bmatrix}

Beispiel: Keine Loesung

"Widerspruchszeile" entsteht bei Umformungen.

\displaystyle \begin{array} & x & + & y & & & = & 1 & \\ & & & y & + & z & = & 1 & \\ & x & + & 2y & + & z & = & 3 & \\ \end{array}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ \end{bmatrix} \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ \end{bmatrix} \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ \end{bmatrix}

Beim "Rueckeinsetzen" \displaystyle x+y=1 \displaystyle y+z=1 \displaystyle 0=1 \rightarrow nie erfuellt \displaystyle L= \not \circ

Beispiel: unendlich viele Loesungen : "Nullzeile" entsteht bei Umformungen

\displaystyle \begin{array} & x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 6 & \\ & & & x_2 & + & 4x_3 & = & 10 & \\ & & & -3x_2 & - & 12x_3 & = & -30 & \\ \end{array} \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & -3 & -12 & | & -30 \\ \end{bmatrix} \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ \end{bmatrix}

Gleichungen: \displaystyle \begin{array} & & & x_2 & + & 4x_3 & = & 10 & \\ & x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 6 & \\ \end{array}

Die Gleichungen sind unterbestimmt. Die Loesung ist hier nur in Abhaenigkeit einer (oder mehrer) Variablen festgelegt.

z.B. $x\_3\; \backslash text\{vorgegeben\}\; x\_2,\; x\_1\; festgelegt,\; naemlich$\displaystyle x_2= 10 -4x_3 \displaystyle x_1= 6 -2x_2-3x_3 \displaystyle = 6 -2(10 -4x_3)-3x_3 \displaystyle x_1= -14+ 5x_3 \displaystyle L={(-14=5x_3, 10-4x_3, x_3)|x_3 \in R} oder \displaystyle L= {\begin{pmatrix} -14+ 5x_3 \\ 10 -4x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}| x_3 \in R}