ZusatzStoffTUB

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Zusätzlicher Stoff im Präsenzbrückenkurs der TU Berlin

3.1. Geometrie im Raum

A - Vektoren des R3

BESCHREIBUNG

C - (Standart-)Skalarprodukt im R3 ("Punktprodukt")

(analog im R2 vw=v1v2w1w2=v1w1+v2w2 )

Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobie man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhaelt, waehrend man bei der skalaren Multiplikation einen Vekotor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhaehlt.

Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts

Mit dem Skalarprodukt lassen sich Winkel und Laenge zweier Vektoren miteinander verknuepfen. Hierbei gilt

Diesen Zusammenhang kann man folgendermasen begruenden:

Betrachte die Vektoren vw

BILD (Vektoren v und w, w ist parallel zur x-Achse)

w=w0  , v=ab 
v=a2+b2  w=w

cos=AnkatheteHypothenuse=av=aa2+b2a=vcos
Dann ist

vw=w0ab=w0vcosb=wvcos+0b 

=wvcos

Die Begruendung ist fuer alle Vektoren gueltig, da man alle Vektoren vwR2 so drehen kann, dass w parallel zur x-Achse ist und v in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unveraendert. In der Linearen Algebra fuer Ingenieure wird dieses auch nochmal genauer erklaert.

Folgerungen

Aus diesem Zusammenhang zwischen Winkel und Laenge lassen sich folgende Schluesse aus dem Skalarprodukt ziehen.

1. Fuer vw=0 ist
   vw=0
   cosvw=0
   vw
   "v orthogonal zu w"
2. Fuer v=w ist vv=vvcos0=v2
   also v=v12+v22+v32 
   (vgl. v=v12+v22  in R2, dieses beweist damit, dass der Satz des Pytagoras auch im 3 dimensonalen gilt)

D - Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")

Eine weitere Moeglichkeit Vektoren zu verknuepfen bietet das das Kreuzprodukt.

Eigenschaften von u=vw

1. \displaystyle \vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}
   Bergruendung: \displaystyle <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3 \displaystyle =v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0
   Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren \displaystyle \vec{u} und \displaystyle \vec{v} 0 ergibt wissen wir, dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind. Dieses macht die Suche nach einem orthogonalen Vektor einfach.
   Das gleiche gilt analog fuer \displaystyle <\vec{u}, \vec{w}>.
   
2. \displaystyle ||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}
   Bemerkung: \displaystyle ||\vec{u}|| ist der Flaecheninhalt des von \displaystyle \vec{v}, \vec{w} aufgespannten Parallelogramms. BILD (mit \displaystyle h = ||\vec{w} || \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}})
3. \displaystyle \vec{v} \text{(Daumen)}, \vec{w} \text{(Zeigefinger) und } \vec{u} \text{(Mittelfinger)} sind Rechtssystem (s.o.)
4. \displaystyle \vec{v} \times \vec{v}=\vec{0}
5. \displaystyle \vec{w} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{w} Bild

BILD

E - Spatprodukt

\displaystyle ||\vec{a} \times \vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})}
\displaystyle =||\vec{a} ||\cdot ||\vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})} \sin{(\vec{a} , \vec{b})}

\displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} ist das Volumen von dem von \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} aufgespannten Spats.

Bild(Vektoren a, b und c und deren Spat)

F - Funktionen

Bisher wurden Funktionen normalerweise nur als \displaystyle f : R \rightarrow R \displaystyle x \mapsto f(x) definiert. Wertebereich \displaystyle \rightarrow Bildbereich
("\displaystyle \rightarrow " "ist Funktion von ... nach ...")
("\displaystyle \mapsto " bildet Element x ab auf f(x))

Allerdings sind groessere Werte-/Bildbereiche fuer einge Themen sehr nuetzlich.

3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1. Moegliche Loesungsmengen Beispiel: Schnittpunkte von zwei Geraden
\displaystyle g: y= \frac{1}{2}x=2
\displaystyle h: y= -3x+7
Standartform fuer Lineare Gleichungssysteme (LGS): Variablen links, Zahlen rechts
\displaystyle g: \frac{1}{2}x-y=-2(*)
\displaystyle h: 3x+y=7(*)

Das Loesungspaar muss hier beide Gleichunge erfuellen. Betrachte hierfuer die Loesungsmenge von (*) L={(x,y) |(x,y) erfuellt beide Gleichungen aus (*)}

Fuer die Loesungsmenge gibt es drei Moeglichkeiten (bei ALLEN linearen Gleichungssystemen)

Bild (2 Geraden g und h mit einem Schnittpunkt)

eine Loesung

Bild (2 Geraden g und h, die parallel zueinander sind)

keine Loesung \displaystyle L=\not \circ

Bild (Gerade g=h)

unendlich viele Loesungen

Groessere Gleichungssysteme: Systematisches Loesen (1. Fall)

Das Gleiche kann auch ohne Variablen aufgeschrieben werden, so spart man sich Schreibarbeit und die Gleichungen werden uebersichtlicher. Hierbei werden einfach nur die Koeffizienten von den Variablen aufgeschrieben. Es muss dabei auf die Reihenfolge und Vorzeichen der Koeffizienten weiterhin geachtet werden. Alle Rechenregeln bleiben dabei erhalten.

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 2 & 2 & | & 1 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 4 & 1 & | & 4 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 0 & 23 & | & -8 \\ \end{bmatrix}

B - Marix-Vektor-Multiplikation

Eine Matrix A mit n Spalten kann nach folgendem Schema mit einem Vektor mit n Zeilen multipliziert werden.

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\cdot 1 & 5\cdot 2 & 6\cdot 3 \\ 4\cdot 4 & 5\cdot 5 & 6\cdot 6 \\ 4\cdot 7 & 5\cdot 8 & 6\cdot 9 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 32 \\ 77 \\ 122 \\ \end{bmatrix}

Hier wird immer Zeile mal Spalte gerechnet.

C - Zusammenhang zu LGSen

1. Beispiel von oben: Koeffizientenmatrix \displaystyle A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \displaystyle b=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} "rechte Seite" A multipliziert mit einem unbekannten Vektor \displaystyle \vec{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} ergibt \displaystyle A \cdot \vec{x}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1\cdot 1 & x_2\cdot 2 & x_3\cdot 3 \\ x_1\cdot 4 & x_2\cdot 5 & x_3\cdot 6 \\ x_1\cdot 7 & x_2\cdot 8 & x_3\cdot 9 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}=\vec{b}

Loesungen eines linearen Gleichungsszstem sind also genau die Vektoren \displaystyle \vec{x} bei denen die Multiplikation mit A als Ergebnis die rechte Seite \displaystyle \vec{b} ergibt. \displaystyle (x_1,x_2,x_3) \text{laesst} \begin{array} & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ & 3x & - & y & + & z & = & 0 & \\ & -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 & \\ \end{array} \Leftrightarrow A\vec{x} =\vec{b} \text{mit} A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix}, \vec{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} , \vec{b}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

Methoden und Interpretationen hierfuer sind zentrales Thema der Linearen Algebra.