1.2 Ableitungsregeln
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
|
Innehåll:
- Derivata av en produkt och kvot
- Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln)
- Högre ordningars derivata
Färdigheter:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.
Derivering av produkt och kvot
Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:
Deriveringsregler för produkter och kvoter:
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
(Observera att derivering av produkter och kvoter inte är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)
Exempel 1
D(x2ex)=2x .
ex+x2ex=(2x+x2)exD(xsinx)=1 .sinx+xcosx=sinx+xcosxD(xlnx−x)=1 .lnx+xx1−1=lnx+1−1=lnxDtanx=Dsinxcosx=(cosx)2cosx cosx−sinx(−sinx)
=cos2xcos2x+sin2x=1cos2x .D 
x1+x=(x)21x−(1+x)12x=x2x2x−12x−x2x
=x2 .xx−1=x−12xxDxex1+x=(1+x)2(1 ex+xex)(1+x)−xex1
=(1+x)2ex+xex+xex+x2ex−xex=(1+x)2(1+x+x2)ex .
Derivering av sammansatta funktioner
En funktion 
g(x)
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Man brukar säga att den sammansatta funktionen y består av den yttre funktionen f och den inre funktionen g. Analogt kallas 
Exempel 2
För funktionen
| yttre funktionen, och | inre funktionen, | ||
| yttre derivata, och | inre derivata. |
Derivatan av funktionen y med avseende på x blir enligt kedjeregeln
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.
Exempel 3
f(x)=sin(3x2+1)
Yttre derivatan:Inre derivatan:cos(3x2+1)6x
f (x)=cos(3x2+1)6x=6xcos(3x2+1)y=5ex2
Yttre derivatan:Inre derivatan:5ex22x
y =5ex22x=10xex2f(x)=ex 
sinx
Yttre derivatan:Inre derivatan:ex sinx1sinx+xcosx
f (x)=exsinx(sinx+xcosx)s(t)=t2cos(lnt)
s (t)=2tcos(lnt)+t2
−sin(lnt)t1
=2tcos(lnt)−tsin(lnt) Dax=D elnax=Delnax=elnaxlna=axlna - \displaystyle D\,x^a = D\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = D\,e^{ a \cdot \ln x } = e^{a \cdot \ln x} \cdot a \cdot \frac{1}{x} = x^a \cdot a \cdot x^{-1} = ax^{a-1}
Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen \displaystyle y= f \bigl( g(h(x))\bigr) har derivatan
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 4
- \displaystyle D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3
= 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x
= 3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x - \displaystyle D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)
\cdot D\,(x^2 -3x)^4
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot D\,(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3 \cdot (2x-3) - \displaystyle D\,\sin^4 (x^2 -3x)
= D\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot D\,\sin(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x) \cdot D(x^2 -3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x)\cdot (2x-3) - \displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot D\,\sqrt{x^3-1}
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}}
\cdot D\,(x^3-1)
\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}
Derivator av högre ordningar
Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv.
Andraderivatan brukar betecknas \displaystyle f^{\,\prime\prime} (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc., betecknas \displaystyle f^{\,(3)}, \displaystyle f^{\,(4)} osv.
Även beteckningarna \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f, \displaystyle \ldots\,, och \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots är vanliga.
Exempel 5
- \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot D\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) - \displaystyle y = \sin x\,\cos x
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x - \displaystyle D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x
= e^x (\sin x + \cos x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{D^2(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\biggl(}
\displaystyle D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{D^3 ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
