3.4 Komplexe Polynome
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Version vom 07:46, 2. Sep. 2009
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Polynomdivision
- Fundamentalsatz der Algebra
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
- Polynomdivision ausführen.
- Das Verhältnis zwischen den Faktoren und Nullstellen eines Polynomes verstehen.
- Wissen, dass ein Polynom mit Grad n, n Nullstellen hat.
- Wissen, dass Polynome mit reellen Koeffizienten konjugiert komplexe Nullstellen haben.
A - Polynome
Ausdrücke in der Form
| \displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0 |
wobei \displaystyle n eine ganze Zahl ist, nennt man Polynome vom Grad \displaystyle n und der Variable \displaystyle x. Die Zahl \displaystyle a_1 ist der Koeffizient von \displaystyle x, \displaystyle a_2 ist der Koeffizient von \displaystyle x^2, etc. Die Zahl \displaystyle a_0 ist die Konstante des Polynoms.
Polynome haben viele Eigenschaften gemeinsam mit den ganzen Zahlen und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.
Beispiel 1
Vergleiche folgende Zahl in der Basis 10,
| \displaystyle 1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3 |
Mit dem Polynom \displaystyle p(x)
| \displaystyle x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3 |
und die folgenden Divisionen,
- \displaystyle \quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad nachdem \displaystyle \ 1353= 123\cdot 11\,,
- \displaystyle \quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad nachdem \displaystyle \ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,.
Wenn \displaystyle p(x) ein Polynom vom Grad \displaystyle n ist, ist \displaystyle p(x)=0 eine Polynomgleichung vom Grad \displaystyle n. Falls \displaystyle p(a)=0 für die Zahl \displaystyle x=a, nennt man \displaystyle x=a eine Wurzel oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.
Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Dies ist wie bei den ganzen Zahlen, wo zum Beispiel
| \displaystyle \frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.} |
Man kann auch schreiben, dass \displaystyle \ 37= 7\cdot 5+2\,. Die Zahl 7 wird Quotient benannt, und die Zahl 2 wird der Rest genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.
Gleichermassen gilt, dass wenn \displaystyle p(x) und \displaystyle q(x) Polynome sind, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) dividieren, und die Polynome \displaystyle k(x) und \displaystyle r(x) bestimmen, sodass
| \displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,} |
oder \displaystyle \ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,. Man sagt hier, dass \displaystyle k(x) der Quotient ist, und \displaystyle r(x) der Rest.
Falls der Rest null wird, also wenn \displaystyle r(x)=0 sagt man, dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilbar ist, oder dass \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist. Dies schreibt man
| \displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,} |
oder \displaystyle \ p(x) = k(x)\, q(x)\,.
B - Polynomdivision
Wenn \displaystyle p(x) einen Grad hat, der höher als der Grad von \displaystyle q(x) ist, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Vielfache von \displaystyle q(x) von \displaystyle p(x) abzieht bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners \displaystyle q(x) ist..
Beispiel 2
Berechne \displaystyle \ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\, durch Polynomdivision.
Der erster Schritt ist, dass wir einen passenden \displaystyle x^2-Term zum Zähler addieren und subtrahieren
| \displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.} |
Jetzt ist es offenbar, dass \displaystyle x^3+2x^2als \displaystyle x^2(x+2) geschrieben werden kann, und dass wir den Faktor \displaystyle (x+2) kürzen können
| \displaystyle \frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.} |
Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden \displaystyle x-Term vom Zähler, sodass wir den \displaystyle x^2-Term beseitigen,
| \displaystyle \begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*} |
Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante zum/vom Zähler
| \displaystyle x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.} |
und wir erhalten
| \displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.} |
Der Quotient ist also \displaystyle x^2 -x + 1 und der Rest ist \displaystyle 2. Nachdem der Rest nicht null ist, ist \displaystyle q(x)= x+2 nicht ein Teiler von \displaystyle p(x)=x^3 + x^2 -x +4.
C - Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen
Wenn \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist, ist \displaystyle p(x)=k(x)\, q(x). Wir haben \displaystyle p(x) also faktorisiert. Man sagt, dass \displaystyle q(x) ein Faktor von \displaystyle p(x) ist. Besonders wenn ein Polynom \displaystyle (x-a) mit dem Grad 1 ein Teiler von \displaystyle p(x) dann ist \displaystyle (x-a) ein Faktor von \displaystyle p(x) , also
| \displaystyle p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.} |
Nachdem \displaystyle \ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ bedeutet dies, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.
\displaystyle (x-a) ist ein Teiler vom Polynom \displaystyle p(x) genau dann, wenn \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.
Beachten Sie, dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wissen wir, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist, wissen wir also auch, dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle (x-a) teilbar ist.
Beispiel 3
Das Polynom \displaystyle p(x) = x^2-6x+8 kann so
| \displaystyle x^2-6x+8 = (x-2)(x-4) |
in Faktoren zerlegt werden und hat daher die Nullstellen \displaystyle x=2 und \displaystyle x=4 (und keine anderen Nullstellen). Dies sind genau die Nullstellen, die wir erhalten, wenn wir die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+8 = 0\, lösen.
Beispiel 4
- Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2-3x-10\, in seine Faktoren.
Indem wir die Nullstellen des Polynoms bestimmen, erhalten wir auch die Faktoren. Die quadratische Gleichung \displaystyle \ x^2-3x-10=0\ hat die Lösungen\displaystyle x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,} also. \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=5. Daher ist \displaystyle \ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,.
- Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2+6x+9\, in seine Faktoren.
Dieses Polynom hat eine doppelte Nullstelle\displaystyle x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3 und daher ist \displaystyle \ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,.
- Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2 -4x+5\, in seine Faktoren.
Dieses Polynom hat zwei komplexe Wurzeln\displaystyle x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i die Faktoren sind also \displaystyle \ (x-(2-i))(x-(2+i))\,.
Beispiel 5
Bestimme ein kubisches Polynom mit den Nullstellen \displaystyle 1, \displaystyle -1 und \displaystyle 3.
Das Polynom hat die Faktoren \displaystyle (x-1), \displaystyle (x+1) und \displaystyle (x-3). Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das ersuchte Polynom
| \displaystyle (x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.} |
D - Fundamentalsatz der Algebra
Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie \displaystyle x^2=-1 zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den Fundamentalsatz der Algebra:
Fundamentalsatz der Algebra
Jedes Polynom mit dem Grad \displaystyle n\ge1 und komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.
Nachdem aber jede Nullstelle einem Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:
Jedes Polynom mit dem Grad \displaystyle n\ge1 hat genau \displaystyle n Nullstellen, wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.
(Multiplizität bedeutet, dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache Nullstelle dreimal. etc.)
Beachten Sie, dass der Satz nur sagt, dass komplexe Nullstellen existieren, und nicht wie man sie findet. Im allgemeinen ist es sehr schwierig, die Nullstellen eines Polynomes zu finden. Wenn man die Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten sucht, hilft uns das Wissen, dass die Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten.
Beispiel 6
Zeige, dass das Polynom \displaystyle p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5 die Nullstellen \displaystyle x=i und \displaystyle x = 2-i hat. Bestimme damit alle Nullstellen.
Gegeben ist
| \displaystyle \begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*} |
Um den letzten Ausdruck zu berechnen, müssen wir die Quadrate berechnen:
| \displaystyle \begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*} |
Dies ergibt
| \displaystyle \begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*} |
und daher sind \displaystyle i und \displaystyle 2-i Nullstellen des Polynoms.
Nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, können wir direkt sagen, dass die anderen Nullstellen die konjugiert komplexen Nullstellen sind, also \displaystyle z=-i und \displaystyle z=2+i.
Eine Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra ist, dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.
Beispiel 7
Zeige, dass \displaystyle x=1 eine Nullstelle von \displaystyle p(x)= x^3+x^2-2 ist. Zerlegen Sie danach \displaystyle p(x) in reelle Polynome und zerlegen sie dann schließlich \displaystyle p(x) in lineare Faktoren.
Nachdem \displaystyle \ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ ist \displaystyle x=1 eine Nullstelle des Polynoms. Laut dem Fundamentalsatz der Algebra ist daher \displaystyle x-1 ein Faktor von \displaystyle p(x), also ist \displaystyle p(x) durch \displaystyle x-1 teilbar. Wir teilen daher \displaystyle p(x) durch \displaystyle x-1,
| \displaystyle \begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*} |
Also ist \displaystyle \ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,, und dies ist die Antwort auf die erste Frage.
Jetzt müssen wir nur noch \displaystyle x^2+2x+2 in seine Faktoren zerlegen. Die Gleichung \displaystyle x^2+2x+2=0 hat die Lösungen
| \displaystyle x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i |
und daher hat das Polynom die komplexen linearen Faktoren;
| \displaystyle \begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*} |
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