Lösung 1.3:1b - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- Es gibt zwei Stellen, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen. + Es gibt zwei Stellen, <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.
  
 <center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>  <center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>
  
- Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. + Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=1</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=-1</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.
  
- Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=a</math> liegt das globale Maximum. + Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=-1</math> liegt das globale Maximum.
 Die Funktion hat keine Sattelpunkte.  Die Funktion hat keine Sattelpunkte.
  
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- Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend. + Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=-1</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=1</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> ist die Funktion streng monoton fallend.
  
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Aktuelle Version
Es gibt zwei Stellen, \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=1 (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.





Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle \displaystyle x=1 ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen \displaystyle x=-1 und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.
Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle \displaystyle x=-1 liegt das globale Maximum.
Die Funktion hat keine Sattelpunkte.







Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und \displaystyle x=-1 streng monoton steigend sowie zwischen \displaystyle x=1 und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=1 ist die Funktion streng monoton fallend.






 





streng monoton steigend

streng monoton fallend



Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:1b“
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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- Es gibt zwei Stellen, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen. + Es gibt zwei Stellen, <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.
  
 <center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>  <center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>
  
- Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. + Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=1</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=-1</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.
  
- Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=a</math> liegt das globale Maximum. + Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=-1</math> liegt das globale Maximum.
 Die Funktion hat keine Sattelpunkte.  Die Funktion hat keine Sattelpunkte.
  
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- Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend. + Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=-1</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=1</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> ist die Funktion streng monoton fallend.
  
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Aktuelle Version
Es gibt zwei Stellen, \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=1 (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.





Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle \displaystyle x=1 ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen \displaystyle x=-1 und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.
Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle \displaystyle x=-1 liegt das globale Maximum.
Die Funktion hat keine Sattelpunkte.







Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und \displaystyle x=-1 streng monoton steigend sowie zwischen \displaystyle x=1 und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=1 ist die Funktion streng monoton fallend.






 





streng monoton steigend

streng monoton fallend



Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:1b“
-                      Willkommen zum Kurs
                       
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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- Es gibt zwei Stellen, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen. + Es gibt zwei Stellen, <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.
  
 <center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>  <center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>
  
- Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. + Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=1</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=-1</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.
  
- Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=a</math> liegt das globale Maximum. + Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=-1</math> liegt das globale Maximum.
 Die Funktion hat keine Sattelpunkte.  Die Funktion hat keine Sattelpunkte.
  
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- Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend. + Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=-1</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=1</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> ist die Funktion streng monoton fallend.
  
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Aktuelle Version
Es gibt zwei Stellen, \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=1 (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.





Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle \displaystyle x=1 ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen \displaystyle x=-1 und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.
Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle \displaystyle x=-1 liegt das globale Maximum.
Die Funktion hat keine Sattelpunkte.







Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und \displaystyle x=-1 streng monoton steigend sowie zwischen \displaystyle x=1 und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=1 ist die Funktion streng monoton fallend.






 





streng monoton steigend

streng monoton fallend



Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:1b“
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-Es gibt zwei Stellen, <math>x=a</math> und <math>x=b</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.
+Es gibt zwei Stellen, <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.
 <center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>
-Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=b</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=a</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.
+Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=1</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=-1</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.
-Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=a</math> liegt das globale Maximum.
+Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=-1</math> liegt das globale Maximum.
 Die Funktion hat keine Sattelpunkte.
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-Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=a</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=b</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> ist die Funktion streng monoton fallend.
+Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=-1</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=1</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> ist die Funktion streng monoton fallend.
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