Testsida2
Förberedande kurs i matematik
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | ===Övning 1.2.1=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Beräkna | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | | <math>\displaystyle 4^{3/2} </math> | ||
| + | |b) | ||
| + | | <math>\displaystyle 8^{1/3}</math> | ||
| + | |c) | ||
| + | | <math>\displaystyle 9^{-1/2}</math> | ||
| + | |d) | ||
| + | | <math>\displaystyle \sqrt{0,25}</math> | ||
| + | |e) | ||
| + | | <math>\displaystyle 4^{1,5}</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning a)| Lösning 1.2.1a | Lösning b) | Lösning 1.2.1b| Lösning c) | Lösning 1.2.1c| Lösning d) | Lösning 1.2.1d| Lösning e) | Lösning 1.2.1e}} | ||
| + | |||
| + | \textbf{Lösningar} | ||
| + | \begin{enumerate}[(a)] | ||
| + | \item $4^{3/2}=(4^{1/2})^3=2^3=8$ | ||
| + | \item $8^{1/3}=2$ | ||
| + | \item $9^{-1/2}=\cfrac{1}{9^{1/2}}=\cfrac{1}{3}$ | ||
| + | \item $\sqrt{0,25}=\sqrt{\cfrac{1}{4}}=\cfrac{1}{\sqrt{4}}=\cfrac{1}{2}$ | ||
| + | \item $4^{1,5}=4^{15/10}=4^{3/2}=8$ | ||
| + | \end{enumerate} | ||
| + | \textbf{Svar} | ||
| + | \begin{enumerate}[(a)] | ||
| + | \item $8$ | ||
| + | \item $2$ | ||
| + | \item $\cfrac{1}{3}$ | ||
| + | \item $\cfrac{1}{2}$ | ||
| + | \item $8$ | ||
| + | \end{enumerate} | ||
| + | \textbf{Övning 1} Vilken är störst, $1343488^{3/2+4/3-17/6}$ eller $3/2$?\\ | ||
| + | \textbf{Lösning} Vi har att | ||
| + | \begin{equation*} | ||
| + | 1343488^{3/2+4/3-17/6}=1343488^{9/6+8/6-17/6}=1343488^0=1 | ||
| + | \end{equation*} | ||
| + | medans $3/2=1+1/2>1$. Alltså är $3/2$ störst.\\ | ||
| + | \textbf{Svar} $3/2$\\ | ||
| + | \textbf{Övning 2} Beräkna $2^{2+1}+3^{6/2}+(2+3)^3+3444^{7^0}$.\\ | ||
| + | \textbf{Svar} | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | 2^{2+1}+&3^{6/2}+(2+3)^3+3444^{7^0}=2^3+3^3+5^3+3444^{1}=\\ | ||
| + | &=8+27+125+3444=3604 | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | |||
===Övning 1.8.1=== | ===Övning 1.8.1=== | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
Versionen från 18 juni 2012 kl. 12.41
Innehåll |
Övning 1.2.1
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle 4^{3/2} | b) | \displaystyle \displaystyle 8^{1/3} | c) | \displaystyle \displaystyle 9^{-1/2} | d) | \displaystyle \displaystyle \sqrt{0,25} | e) | \displaystyle \displaystyle 4^{1,5} |
Hämtar...\textbf{Lösningar} \begin{enumerate}[(a)]
\item $4^{3/2}=(4^{1/2})^3=2^3=8$
\item $8^{1/3}=2$ \item $9^{-1/2}=\cfrac{1}{9^{1/2}}=\cfrac{1}{3}$ \item $\sqrt{0,25}=\sqrt{\cfrac{1}{4}}=\cfrac{1}{\sqrt{4}}=\cfrac{1}{2}$ \item $4^{1,5}=4^{15/10}=4^{3/2}=8$ \end{enumerate} \textbf{Svar} \begin{enumerate}[(a)]
\item $8$
\item $2$ \item $\cfrac{1}{3}$ \item $\cfrac{1}{2}$ \item $8$ \end{enumerate} \textbf{Övning 1} Vilken är störst, $1343488^{3/2+4/3-17/6}$ eller $3/2$?\\ \textbf{Lösning} Vi har att \begin{equation*}
1343488^{3/2+4/3-17/6}=1343488^{9/6+8/6-17/6}=1343488^0=1
\end{equation*} medans $3/2=1+1/2>1$. Alltså är $3/2$ störst.\\ \textbf{Svar} $3/2$\\ \textbf{Övning 2} Beräkna $2^{2+1}+3^{6/2}+(2+3)^3+3444^{7^0}$.\\ \textbf{Svar} \begin{align*}
2^{2+1}+&3^{6/2}+(2+3)^3+3444^{7^0}=2^3+3^3+5^3+3444^{1}=\\
&=8+27+125+3444=3604 \end{align*}
Övning 1.8.1
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle (1+2i) \left( 2-\frac{i}{4} \right) | b) | \displaystyle \displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i)) |
Övning 1.8.2
Vad är realdelen/imaginärdelen till
| a) | \displaystyle \displaystyle -1+5i | b) | \displaystyle \displaystyle -\pi i |
Övning 1.8.3
Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir \displaystyle -1, och därför införde man talet \displaystyle i, definierat som \displaystyle \sqrt{-1}.
Men löser det egentligen problemet? Förskjuter vi inte bara problemet till att bestämma vad \displaystyle \sqrt{i} blir?
Inte riktigt: undersök ekvationen \displaystyle (a+bi)^2=i, där \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal.
Tips: Kom ihåg att om två komplexa tal är lika, så är även realdelarna lika, och imaginärdelarna är lika!
Övning 1.8.4
Vad blir \displaystyle \frac{1}{i} för något?
Tips: Pröva att förlänga bråket med något!
Övning 1.9.2
Förkorta \displaystyle \displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2} så lång som möjligt.
Övning 1.9.3
Faktorisera
| a) | \displaystyle \displaystyle x^2+1 | b) | \displaystyle \displaystyle x^2+y^2 |
Övning 3.1.1
Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm
| a) | \displaystyle \displaystyle A\cup B | b) | \displaystyle \displaystyle A\cap B | c) | \displaystyle \displaystyle A\setminus B | d) | \displaystyle \displaystyle B \setminus A |
Övning 3.1.2
Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.
| a) | \displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2. | |
| b) | \displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3.
\displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}. | |
| c) | \displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x}. | |
| d) | \displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)). | |
| e) | \displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)). |
Övning 3.1.3
Låt \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} så att \displaystyle f(x)=x^2 och \displaystyle g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x) = -\sqrt{x}. Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner:
| a) | \displaystyle f |
| b) | \displaystyle g |
| c) | \displaystyle h(x) = f(g(x)). |
