Testsida2

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 54: Rad 54:
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.4.2a | Svar b)| Svar 1.4.2b | Svar c)| Svar 1.4.2c | Lösning a) | Lösning 1.4.2a | Lösning b)| Lösning 1.4.2b | Lösning c) | Lösning 1.4.2c}}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.4.2a | Svar b)| Svar 1.4.2b | Svar c)| Svar 1.4.2c | Lösning a) | Lösning 1.4.2a | Lösning b)| Lösning 1.4.2b | Lösning c) | Lösning 1.4.2c}}
 +
 +
===Övning 1.4.2===
 +
<div class="ovning">
 +
Beräkna följande
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
| <math>36+23</math>
 +
|b)
 +
| <math>36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)}</math>
 +
|c)
 +
| <math>5^{345}+55</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.4.2a | Svar b)| Svar 1.4.2b | Svar c)| Svar 1.4.2c | Lösning a) | Lösning 1.4.2a | Lösning b)| Lösning 1.4.2b | Lösning c) | Lösning 1.4.2c}}
 +
 +
===Övning 1.5.1===
 +
<div class="ovning">
 +
Kovertera följande tal till bas 5.
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
| <math>4</math>
 +
|b)
 +
| <math>5</math>
 +
|c)
 +
| <math>125</math>
 +
|d)
 +
|<math>68</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.5.1a | Svar b)| Svar 1.5.1b | Svar c)| Svar 1.5.1c | Lösning a) | Lösning 1.5.1a | Lösning b)| Lösning 1.5.1b | Lösning c) | Lösning 1.5.1c}}
 +
 +
 +
\textbf{Svar.}
 +
\begin{enumerate}[(a)]
 +
\item $4_{10}=4_5$
 +
\item $5_{10}=10_5$
 +
\item $125_{10}=5^3_{10}=1000_5$
 +
\item Vi har
 +
\begin{align*}
 +
68&=2\cdot25 + (68-2\cdot25) = 2\cdot2^2 + 18 = 2\cdot5^2 + 3\cdot5 + (18-3\cdot5)=\\
 +
&=2\cdot5^2+3\cdot5^1+3 =2\cdot5^2+3\cdot5^1+3\cdot5^0
 +
\end{align*}
 +
Alltså får vi att $68_{10}=233$
 +
\end{enumerate}
 +
\textbf{Övning 2} Beräkna $1002_3-234_5$ och ge svaret i bas 8.\\
 +
\textbf{Ledning.} Konvertera talen till bas 10.\\
 +
\textbf{Lösning.} Vi börjar med att konvertera $1002_3$ och $234_5$ till bas 10 för att kunna utföra subtraktion. Vi får
 +
\begin{align*}
 +
1002_3=1\cdot3^3+0\cdot3^2+0\cdot3^1+2\cdot3^0=27+2=29
 +
\end{align*}
 +
och
 +
\begin{align*}
 +
234_5=2\cdot5^2+3\cdot5^1+4\cdot5^0=2\cdot25+3\cdot5+4=50+15+4=69
 +
\end{align*}
 +
Alltså får vi att
 +
\begin{equation*}
 +
1002_3-234_5=29-69=-40
 +
\end{equation*}
 +
40 i bas 8 är
 +
\begin{align*}
 +
40_{10}=5\cdot8=5\cdot8^1+0\cdot8^0=10_8
 +
\end{align*}
 +
Alltså blir svaret $1002_3-234_5=-10_8$.\\
 +
\textbf{Svar.} $-10_8$
 +
 +
 +
===Övning 1.8.1===
===Övning 1.8.1===

Versionen från 18 juni 2012 kl. 13.17

Innehåll

Övning 1.2.1

Beräkna

a) \displaystyle \displaystyle 4^{3/2} b) \displaystyle \displaystyle 8^{1/3} c) \displaystyle \displaystyle 9^{-1/2} d) \displaystyle \displaystyle \sqrt{0,25} e) \displaystyle \displaystyle 4^{1,5}

Övning 1.2.2

Vilken är störst, \displaystyle 1343488^{3/2+4/3-17/6} eller \displaystyle 3/2?


Övning 1.2.3

Beräkna \displaystyle 2^{2+1}+3^{6/2}+(2+3)^3+3444^{7^0}

Övning 1.4.1

Beräkna följande

a) 18 modulo 7 b) 345332233 modulo 2 c) 156 modulo 29 d) 334 modulo 10

Övning 1.4.2

Beräkna följande

a) \displaystyle 36+23 b) \displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)} c) \displaystyle 5^{345}+55

Övning 1.4.2

Beräkna följande

a) \displaystyle 36+23 b) \displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)} c) \displaystyle 5^{345}+55

Övning 1.5.1

Kovertera följande tal till bas 5.

a) \displaystyle 4 b) \displaystyle 5 c) \displaystyle 125 d) \displaystyle 68


\textbf{Svar.} \begin{enumerate}[(a)]

\item $4_{10}=4_5$
\item $5_{10}=10_5$
\item $125_{10}=5^3_{10}=1000_5$
\item Vi har

\begin{align*}

68&=2\cdot25 + (68-2\cdot25) = 2\cdot2^2 + 18 = 2\cdot5^2 + 3\cdot5 + (18-3\cdot5)=\\

&=2\cdot5^2+3\cdot5^1+3 =2\cdot5^2+3\cdot5^1+3\cdot5^0 \end{align*} Alltså får vi att $68_{10}=233$ \end{enumerate} \textbf{Övning 2} Beräkna $1002_3-234_5$ och ge svaret i bas 8.\\ \textbf{Ledning.} Konvertera talen till bas 10.\\ \textbf{Lösning.} Vi börjar med att konvertera $1002_3$ och $234_5$ till bas 10 för att kunna utföra subtraktion. Vi får \begin{align*} 1002_3=1\cdot3^3+0\cdot3^2+0\cdot3^1+2\cdot3^0=27+2=29 \end{align*} och \begin{align*} 234_5=2\cdot5^2+3\cdot5^1+4\cdot5^0=2\cdot25+3\cdot5+4=50+15+4=69 \end{align*} Alltså får vi att \begin{equation*}

1002_3-234_5=29-69=-40

\end{equation*} 40 i bas 8 är \begin{align*} 40_{10}=5\cdot8=5\cdot8^1+0\cdot8^0=10_8 \end{align*} Alltså blir svaret $1002_3-234_5=-10_8$.\\ \textbf{Svar.} $-10_8$



Övning 1.8.1

Beräkna

a) \displaystyle \displaystyle (1+2i) \left( 2-\frac{i}{4} \right) b) \displaystyle \displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i))

Övning 1.8.2

Vad är realdelen/imaginärdelen till

a) \displaystyle \displaystyle -1+5i b) \displaystyle \displaystyle -\pi i


Övning 1.8.3

Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir \displaystyle -1, och därför införde man talet \displaystyle i, definierat som \displaystyle \sqrt{-1}.

Men löser det egentligen problemet? Förskjuter vi inte bara problemet till att bestämma vad \displaystyle \sqrt{i} blir?

Inte riktigt: undersök ekvationen \displaystyle (a+bi)^2=i, där \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal.

Tips: Kom ihåg att om två komplexa tal är lika, så är även realdelarna lika, och imaginärdelarna är lika!

Övning 1.8.4

Vad blir \displaystyle \frac{1}{i} för något?

Tips: Pröva att förlänga bråket med något!

Övning 1.9.2

Förkorta \displaystyle \displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2} så lång som möjligt.

Övning 1.9.3

Faktorisera

a) \displaystyle \displaystyle x^2+1 b) \displaystyle \displaystyle x^2+y^2


Övning 3.1.1

Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm

a) \displaystyle \displaystyle A\cup B b) \displaystyle \displaystyle A\cap B c) \displaystyle \displaystyle A\setminus B d) \displaystyle \displaystyle B \setminus A


Övning 3.1.2

Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.

a) \displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2.
b) \displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3.

\displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}.

c) \displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x}.
d) \displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)).
e) \displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)).


Övning 3.1.3

Låt \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} så att \displaystyle f(x)=x^2 och \displaystyle g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x) = -\sqrt{x}. Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner:

a) \displaystyle f
b) \displaystyle g
c) \displaystyle h(x) = f(g(x)).