4.1 Gränsvärden

Övning 5.1.1

Avgör om följande gränsvärden existerar.

a) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2).

b) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{xy-1}{y-1}.

c) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x-y}{y-1}.

Övning 5.1.2

Avgör om följande gränsvärden existerar.

a) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2-2x+1}{xy-2x-y+2}.

b) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-2y^2}{2x^2+y^2}.

c) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^3-xy^2}{x^2+y^2-xy}.

d) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{xy^2-2xy+x}{2x^2+y^2-2y+1}.

Övning 5.1.3

Avgör om följande gränsvärden existerar.

a) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{\sin(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}.

b) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{x+2y+3z^2}{x^2+y^2+z^2}.

c) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{x^{3}+2y^{4}+3z^5}{x^2+y^2+z^2}.

Övning 5.1.4

Avgör om följande gränsvärden existerar.

a) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty }xye^{-x^2-y^2}.

b) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty } xye^{-x-y}.

c) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty } \frac{xy}{x^2+y^2}.

Övning 5.1.5

Avgör om följande gränsvärden existerar.

a) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty }\frac{xy}{(x^2+y^2)^2+x^2y^2}.

b) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty }\frac{\sin xy}{x^2+y^2}.

c) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty }xye^{-x^2y^2}.