Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

3.1 Rötter

Förberedande kurs i matematik 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (9 juni 2008 kl. 17.07) (redigera) (ogör)
 
(2 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 19: Rad 19:
*Skriva om ett rotuttryck i potensform.
*Skriva om ett rotuttryck i potensform.
*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
*Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
-
*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierat.
+
*Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierad.
*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
*Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
*Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
*Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
*Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
*Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
-
*Veta när ''n'':te roten ur ett negativt tal är definierat (''n'' udda).
+
*Veta när ''n'':te roten ur ett negativt tal är definierad (''n'' udda).
}}
}}
Rad 32: Rad 32:
Symbolen <math>\sqrt{a}</math>, kvadratroten ur <math>a</math>, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir <math>a</math>. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.
Symbolen <math>\sqrt{a}</math>, kvadratroten ur <math>a</math>, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir <math>a</math>. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.
-
Ekvationen <math>x^2 = 4</math> har två lösningar <math>x = 2</math> och <math>x = -2</math>, eftersom såväl <math>2\cdot 2 = 4</math> som <math>(-2)\cdot(-2) = 4</math>. Man skulle då kunna tro att <math>\sqrt{4}</math> kan vara vilket som helst av <math>-2</math> och <math>2</math>, dvs. <math>\sqrt{4}= \pm 2</math>, men <math>\sqrt{4}</math> betecknar '''bara''' det positiva talet <math>2</math>.
+
Ekvationen <math>x^2 = 4</math> har två lösningar <math>x = 2</math> och <math>x = -2</math>, eftersom såväl <math>2\cdot 2 = 4</math> som <math>(-2)\cdot(-2) = 4</math>. Man skulle då kunna tro att <math>\sqrt{4}</math> kan vara vilken som helst av <math>-2</math> och <math>2</math>, dvs. <math>\sqrt{4}= \pm 2</math>, men <math>\sqrt{4}</math> betecknar '''bara''' det positiva talet <math>2</math>.
Rad 57: Rad 57:
<li>Ekvationen <math>x^2=2</math> har lösningarna <math>x=\sqrt{2}
<li>Ekvationen <math>x^2=2</math> har lösningarna <math>x=\sqrt{2}
\approx 1{,}414</math> och <math>x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414</math>.</li>
\approx 1{,}414</math> och <math>x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414</math>.</li>
-
<li><math>\sqrt{-4}\quad</math> är inte definierat, eftersom det inte finns något reellt tal <math>x</math> som uppfyller <math>x^2=-4</math>.</li>
+
<li><math>\sqrt{-4}\quad</math> är inte definierad, eftersom det inte finns något reellt tal <math>x</math> som uppfyller <math>x^2=-4</math>.</li>
<li><math>\sqrt{(-7)^2} = 7 \quad</math> eftersom <math> \sqrt{(-7)^2}
<li><math>\sqrt{(-7)^2} = 7 \quad</math> eftersom <math> \sqrt{(-7)^2}
= \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7</math>.</li>
= \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7</math>.</li>
Rad 106: Rad 106:
== Högre ordningars rötter ==
== Högre ordningars rötter ==
-
Kubikroten ur ett tal <math>a</math> definieras som det tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger <math>a</math>, och betecknas <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{a}</math>.
+
Kubikroten ur ett tal <math>a</math> definieras som det tal som multiplicerat med sig självt tre gånger ger <math>a</math>, och betecknas <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{a}</math>.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Rad 124: Rad 124:
Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.
Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.
-
Det går sedan att för postiva heltal <math>n</math> definiera n:te roten ur ett tal <math>a</math> som
+
Det går sedan att för positiva heltal <math>n</math> definiera ''n'':te roten ur ett tal <math>a</math> som
-
* om <math>n</math> är jämn och <math>a\ge0</math> är <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> det icke-negativa tal som multiplicerat med sig själv <math>n</math> gånger blir <math>a</math>,
+
* om <math>n</math> är jämn och <math>a\ge0</math> är <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt <math>n</math> gånger blir <math>a</math>,
* om <math>n</math> är udda så är <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> det tal som multiplicerat med sig självt <math>n</math> gånger blir <math>a</math>.
* om <math>n</math> är udda så är <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> det tal som multiplicerat med sig självt <math>n</math> gånger blir <math>a</math>.
Rad 139: Rad 139:
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad</math> eftersom <math>(-3)
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad</math> eftersom <math>(-3)
\cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243</math>.</li>
\cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243</math>.</li>
-
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad</math> är inte definierat eftersom <math>6</math> är jämn och <math>-17</math> är ett negativt tal.</li>
+
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad</math> är inte definierad eftersom <math>6</math> är jämn och <math>-17</math> är ett negativt tal.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
Rad 309: Rad 309:
Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.
Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.
-
Exempelvis: <math>\sqrt{x}=x^{1/2}</math>
+
Exempelvis: <math>\sqrt{x}=x^{1/2}</math>.
Rad 316: Rad 316:
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Root_(mathematics) Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia]
+
[http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia]
[http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/irr2/ Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?]
[http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/irr2/ Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?]

Nuvarande version

       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Kvadratrot och n:te rot
  • Rotlagar

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Skriva om ett rotuttryck i potensform.
  • Beräkna kvadratroten ur några enkla heltal.
  • Kvadratroten ur ett negativt tal inte är definierad.
  • Kvadratroten ur ett tal betecknar den positiva roten.
  • Hantera rotlagarna i förenkling av rotuttryck.
  • Veta när rotlagarna är giltiga (icke-negativa radikander).
  • Förenkla rotuttryck med kvadratrötter i nämnaren.
  • Veta när n:te roten ur ett negativt tal är definierad (n udda).

Kvadratrötter

Symbolen a , kvadratroten ur a, används som bekant för att beteckna det tal som multiplicerat med sig självt blir a. Man måste dock vara lite mer exakt när man definierar denna symbol.

Ekvationen x2=4 har två lösningar x=2 och x=−2, eftersom såväl 22=4 som (−2)(−2)=4. Man skulle då kunna tro att 4  kan vara vilken som helst av −2 och 2, dvs. 4=2 , men 4  betecknar bara det positiva talet 2.


Kvadratroten a  betecknar det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt blir a dvs. den icke-negativa lösningen till ekvationen x2=a.

Kvadratroten ur a kan även skrivas a12 .

Det är därför fel att påstå att 4=2  men korrekt att säga att ekvationen x2=4 har lösningarna x=2.

Exempel 1

  1. 0=0  eftersom 02=00=0 och 0 är inte negativ.
  2. 100=10  eftersom 102=1010=100 och 10 är ett positivt tal.
  3. 025=05  eftersom 052=0505=025 och 05 är positiv.
  4. 214142  eftersom 14142141422 och 14142 är positiv.
  5. Ekvationen x2=2 har lösningarna x=21414  och x=−2−1414 .
  6. −4  är inte definierad, eftersom det inte finns något reellt tal x som uppfyller x2=−4.
  7. (−7)2=7  eftersom (−7)2=(−7)(−7)=49=77=7 .

När man räknar med kvadratrötter kan det vara bra att känna till några räkneregler. Eftersom a=a12  kan vi överföra potenslagarna till "rotlagar". Vi har t.ex. att

94=(94)12=912412=94. 

På detta sätt kan vi få fram följande räkneregler för kvadratrötter, som gäller för alla reella tal ab0:

abbaab=ab=ba=a2b

(Vi måste dock vid divisionen ovan som vanligt förutsätta att b inte är 0.)

Exempel 2

  1. 6481=6481=89=72 
  2. 925=925=53 
  3. 182=182=36=6 
  4. 375=375=25=5 
  5. 12=43=43=23 

Observera att räknereglerna ovan förutsätter att a och b0. Om a och b är negativa (< 0) så är inte a  och b  definierade som reella tal. Man skulle t.ex. kunna frestas att skriva

−1=−1−1=(−1)(−1)=1=1 

men ser då att något inte stämmer. Anledningen är att −1  inte är ett reellt tal, vilket alltså gör att räknereglerna ovan inte får användas.


Högre ordningars rötter

Kubikroten ur ett tal a definieras som det tal som multiplicerat med sig självt tre gånger ger a, och betecknas 3a .

Exempel 3

  1. 38=2  eftersom 222=8.
  2. 30027=03  eftersom 030303=0027.
  3. 3−8=−2  eftersom (−2)(−2)(−2)=−8.

Notera att, till skillnad från kvadratrötter, är kubikrötter även definierade för negativa tal.

Det går sedan att för positiva heltal n definiera n:te roten ur ett tal a som

  • om n är jämn och a0 är na  det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt n gånger blir a,
  • om n är udda så är na  det tal som multiplicerat med sig självt n gånger blir a.

Roten na  kan även skrivas som a1n .

Exempel 4

  1. 4625=5  eftersom 5555=625.
  2. 5−243=−3  eftersom (−3)(−3)(−3)(−3)(−3)=−243.
  3. 6−17  är inte definierad eftersom 6 är jämn och −17 är ett negativt tal.

För n:te rötter gäller samma räkneregler som för kvadratrötter om ab0. Observera att om n är udda gäller de även för negativa a och b, dvs. för alla reella tal a och b.

nabnbaanb=nanb=nbna=nanb


Förenkling av rotuttryck

Ofta kan man genom att använda räknereglerna för rötter förenkla rotuttryck väsentligt. Liksom vid potensräkning handlar det ofta om att bryta ner uttryck i så "små" rötter som möjligt. Exempelvis gör man gärna omskrivningen

8=42=42=22 

eftersom man då kan förenkla t.ex.

28=222=2. 

Genom att skriva rotuttryck i termer av "små" rötter kan man också addera rötter av "samma sort", t.ex.

8+2=22+2=(2+1)2=32. 

Exempel 5

  1. 818=2924=233222=232222=3222=32
  2. 672=2389=2322233=2322322=23232=2 
  3. 45+20=95+45=325+225=35+25 
    =(3+2)5=55 
  4. 50+23−32+27=510+23−216+39 
    =525+23−244+333 
    =522+23−22222+332 
    =52+23−222+33 
    =(5−4)2+(2+3)3 
    =2+53 
  5. 312233=334233=2333334=234=2322=232323232=2232=32
  6. (3+2)(3−2)=(3)2−(2)2=3−2=1 
    där vi använt konjugatregeln (a+b)(a−b)=a2−b2 med a=3  och b=2 .


Rationella rotuttryck

När rötter förekommer i ett rationellt uttryck vill man ofta undvika rötter i nämnaren (eftersom det är svårt vid handräkning att dividera med irrationella tal). Genom att förlänga med 2  kan man exempelvis göra omskrivningen

12=1222=22

vilket oftast är att föredra.

I andra fall kan man utnyttja konjugatregeln, (a+b)(a−b)=a2−b2, och förlänga med nämnarens s.k. konjugerade uttryck. På så sätt försvinner rottecknen från nämnaren genom kvadreringen, t.ex.

32+1=32+12−12−1=3(2−1)(2+1)(2−1)=(2)2−1232−31=2−132−3=16−3=6−3.

Exempel 6

  1. 5103=551035=51015=215
  2. 21+3=22(1+3)2=22+6
  3. 32−2=3(2+2)(2−2)(2+2)=32+6(2)2−22=2−432+6=−232+6
  4. 26+3=2(6−3)(6+3)(6−3)=(6)2−(3)226−23
    =6−3223−23=323−23=3(2−2)3


Övningar


Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att:

Kvadratroten ur ett tal är alltid icke-negativ (dvs. positiv eller lika med noll)!

Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna.

Exempelvis: x=x12 .


Lästips

För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om kvadratrötter i engelska Wikipedia

Hur vet man att roten ur 2 inte är ett bråktal?


Länktips

Hur man finner roten ur ett tal, utan hjälp av miniräknare?

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/2008/forberedandematte1/index.php/3.1_R%C3%B6tter