1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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* Lokale Maxima, für die <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links vom Punkt ist und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts vom Punkt ist. | * Lokale Maxima, für die <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links vom Punkt ist und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts vom Punkt ist. | ||
* Lokale Minima, für die <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links vom Punkt ist und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts vom Punkt ist. | * Lokale Minima, für die <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links vom Punkt ist und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts vom Punkt ist. | ||
- | * Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von <math>f^{\,\prime} auf beiden Seiten des Punktes ist. | + | * Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von <math>f^{\,\prime}</math> auf beiden Seiten des Punktes ist. |
Hinweis: Ein Punkt kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum sein, ohne dass <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; lies mehr darüber im Abschnitt ''[[#Maxima und Minima|Maxima und Minima]]''. | Hinweis: Ein Punkt kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum sein, ohne dass <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; lies mehr darüber im Abschnitt ''[[#Maxima und Minima|Maxima und Minima]]''. |
Version vom 10:46, 19. Aug. 2009
Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Kurven zeichnen
- Maximierungs- und Minimierungsprobleme
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
- Die Definitionen von monoton steigend, streng monoton steigend, monoton fallend, streng monoton fallend, lokales Maximum, globales Maximum, lokales Minimum und globales Minimum.
- Wenn
f ist, dann ist0
f streng monoton steigend und wennf ist, dann ist0
f streng monoton fallend. - Wie man stationäre Punkte findet und deren Charakter bestimmt.
- Wie man mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung Kurven zeichnet.
- Wie man globale Maxima und Minima einer Funktion findet.
- Wie man den Charakter eines stationären Punktes mit der zweiten Ableitung bestimmt.
A - Steigende und fallende Funktionen
Man sagt, dass eine Funktion monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist. Man sagt monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.
Die formellen Definitionen lauten:
Eine Funktion f ist monoton steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle
![]() ![]() ![]() |
Eine Funktion f ist monoton fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle
![]() ![]() ![]() |
Die Definition sagt uns also, dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat als der linke Punkt. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend sein.
Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng monoton steigend und streng monoton fallend:
Eine Funktion f ist streng monoton steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle
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Eine Funktion f ist streng monoton fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle
![]() ![]() ![]() |
(Eine streng monoton steigende oder fallende Funktion kann nicht konstant sein.)
Beispiel 1
- Die Funktion
y=f(x) , deren Graph unten eingezeichnet ist, ist fallend im Intervall0 .x
6
- Die Funktion
y=−x3 ist streng monoton fallend.4
- Die Funktion
y=x2 ist streng monoton steigend fürx .0
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| ||
Graph der Funktion aus a. | Graph der Funktion f(x) = - x³/4 | Graph der Funktion f(x) = x² |
Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einem bestimmten Punkt null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur in einem isolierten Punkt null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.
B - Stationäre Punkte
Punkte, in denen (x)=0
- Lokale Maxima, für die
f links vom Punkt ist und(x)
0
f rechts vom Punkt ist.(x)
0
- Lokale Minima, für die
f links vom Punkt ist und(x)
0
f rechts vom Punkt ist.(x)
0
- Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von
f auf beiden Seiten des Punktes ist.
Hinweis: Ein Punkt kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum sein, ohne dass (x)=0
C - Sattelpunkte
Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, in dem die Ableitung einer Funktion null ist und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Maxima oder Minima der Ableitung.
Im Sattelpunkt ändert sich die Richtung der Ableitung. Die linke Kurve hat einen Wendepunkt wenn x = 0, in dem die Ableitung null ist. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte. |
Die Funktion hat einen lokales Minimum in
D - Vorzeichentabelle
Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) betrachtet, kann man viele Informationen über die Funktion erhalten.
Um eine Funktion zu untersuchen, macht man eine sogenannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte, bei denen (x)=0
Beispiel 2
Machen Sie eine Vorzeichentabelle der Funktion
Die Ableitung der Funktion ist
![]() ![]() |
Der Faktor
| | | |||
| | | | | |
| | | | | |
Nachdem die Ableitung das Produkt von
| | | |||
![]() | | | | | |
| ![]() | | ![]() | | ![]() |
In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen angegeben, ob die Funktion streng monoton steigend )
)
Aus der Tabelle sehen wir, dass die Funktion ein lokales Maximum in 22)
–10)
E - Maxima und Minima (Extremwerte)
Ein Punkt, in dem die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man lokales Maximum oder lokales Minimum. Lokale Maxima und lokale Minima nennt man auch lokale Extrema.
Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrempunkten:
- Ein stationärer Punkt (
f ).(x)=0
- Ein Punkt, in dem die Ableitung nicht definiert ist (singulärer Punkt).
- Ein Endpunkt des Intervalles, in dem die Funktion definiert ist.
- Ein stationärer Punkt (
Beispiel 3
Die Funktion unten hat vier lokale Extrema: Lokale Maxima in
In (x)=0
In
Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Folgende Vorgangsweise ist praktikabel:
- Die Funktion ableiten.
- Untersuchen, ob es Punkte gibt, in denen
f nicht definiert ist.(x)
- Alle Punkte finden, in denen
f ist.(x)=0
- Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrempunkte finden.
- Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.
Beispiel 4
Bestimme die Extrema der Funktion
Die Ableitung der Funktion ist
![]() |
Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor
![]() ![]() |
Also ist
![]() |
Die Nullstellen der Ableitung sind
| | | | ||||
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Spalte, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
| | | | ||||
![]() | | | | | | | |
| ![]() | | ![]() | | ![]() | | ![]() |
Die Kurve hat also lokale Minima in den Punkten –20)
7)
12)
Beispiel 5
Bestimme alle Extrema der Funktion 3
Die Ableitung der Funktion ist
![]() ![]() ![]() |
Von dieser Funktion sehen wir, dass
Die stationären Punkte der Funktion erhalten wir durch
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Also kann die Funktion Extrema in den Punkten
| | | |||
![]() | | not def. | | | |
| ![]() | | ![]() | | ![]() |
Also hat die Funktion einen lokales Maximum im Punkt 0)
−427)
F - Globale Maxima und Minima
Ein globales Maximum ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein globales Minimum ein Punkt, der einen niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.
Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und danach den höchsten und niedrigsten Wert von diesen.
Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.
Beispiel 6
Die linke Funktion hat weder ein globales Maximum noch Minimum. Die rechte Funktion hat kein globales Minimum.
Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass die Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein können.
Diese Funktion ist nur im Intervall x
e
Beispiel 7
Bestimme das Maximum und Minimum der Funktion x
1
Wir leiten die Funktion (x)=3x2−3
![]() ![]() ![]() ![]() |
Der Punkt
Das Maximum der Funktion ist also
Die Figur zeigt den ganzen Graph der Funktion in dem Bereich, der im Intervall liegt, mit einer durchgehenden Linie.
G - Die zweite Ableitung
Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion monoton steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrema bestimmen.
Falls die Funktion (a)
0
- die Ableitung
f streng monoton fallend in einer Umgebung von(x)
x=a , - da
f links von(x)
0
x=a undf rechts von(x)
0
x=a , istf ,(a)=0
- also hat die Funktion
f(x) ein lokales Maximum im Punktx=a .
Wenn die Ableitung links von x = a positiv ist, und rechts von x = a negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum im Punkt x = a. |
Wenn die Funktion (a)
0
- die Ableitung
f streng monoton steigend in einer Umgebung von(x)
x=a , - da
f ist(a)=0
f links von(x)
0
x=a undf rechts von(x)
0
x=a , - also hat die Funktion
f(x) ein lokales Minimum im Punktx=a .
Wenn die Ableitung links von x = a negativ ist, und rechts von x = a positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum im Punkt x = a. |
Wenn (a)=0
(a)=0
(a)=0
Beispiel 8
Bestimme alle Extrempunkte der Funktion
Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Punkte sein. Die Ableitung der Funktion ist (x)=3x2−2x−1
![]() ![]() ![]() |
Die Funktion hat also die stationären Punkte (x)=6x−2
- Für
x=−31 istf , also ist(−31)=−4
0
x=−31 ein lokales Maximum. - Für
x=1 istf , also ist(1)=4
0
x=1 ein lokales Minimum.