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Lösung 1.2:2f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
Aktuelle Version (10:14, 20. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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The entire expression is made up of several levels,
+
Die Funktion ist mehrmals verkettet
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{{Displayed math||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } }</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } }</math>}}
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and when we differentiate we go from the outside inwards. In the first stage, we consider the expression as "cosine of something",
+
Die äußerste Ableitung erhalten wir, indem wir den Ausdruck
-
{{Displayed math||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } }\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } }\,</math>}}
-
and differentiate this using the chain rule,
+
mit der Kettenregel ableiten.
-
{{Displayed math||<math>\frac{d}{dx}\,\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} } = -\sin \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\,\bigr)'\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} } = -\sin \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\,\bigr)'\,\textrm{}</math>}}
-
In the next differentiation, we have "the square root of something",
+
Im nächsten Schritt haben wir die verkettete Funktion "die Wurzel von ..."
-
{{Displayed math||<math>\bigl( \sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}\,\bigr)' = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}}\cdot \bbox[#FFCC33;,1.5pt]{(1-x)}^{\,\prime}\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl( \sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}\,\bigr)' = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}}\cdot \bbox[#FFCC33;,1.5pt]{(1-x)}^{\,\prime}\,,</math>}}
-
where we have used the differentiation rule,
+
wo wir
-
{{Displayed math||<math>\frac{d}{dx}\,\bigl(\sqrt{x}\,\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\bigl(\sqrt{x}\,\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
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for the outer derivative.
+
verwendet haben.
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The whole differentiation in one go becomes
+
Die Ableitung der ganzen Funktion ist also
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}\cos\sqrt{1-x}
\frac{d}{dx}\cos\sqrt{1-x}
&= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{d}{dx}\,\sqrt{1-x}\\[5pt]
&= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{d}{dx}\,\sqrt{1-x}\\[5pt]

Aktuelle Version

Die Funktion ist mehrmals verkettet

cos1−x 

Die äußerste Ableitung erhalten wir, indem wir den Ausdruck

cos

mit der Kettenregel ableiten.

ddxcos1−x=−sin1−x1−x 

Im nächsten Schritt haben wir die verkettete Funktion "die Wurzel von ..."

1−x=121−x(1−x) 

wo wir

ddxx=12x. 

verwendet haben.

Die Ableitung der ganzen Funktion ist also

ddxcos1−x=−sin1−xddx1−x=−sin1−x121−xddx(1−x)=−sin1−x121−x(−1)=21−xsin1−x.
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