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Lösung 1.2:3f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
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-
We have no differentiation rule for a function raised to another function, but instead we use the formula
+
Es gibt keine Regel, um die Funktion direkt abzuleiten. Stattdessen verwenden wir die Regel
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{{Displayed math||<math>a^b = e^{\ln a^b} = e^{b\ln a}\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a^b = e^{\ln a^b} = e^{b\ln a}\,.</math>}}
-
which, in our case, gives
+
Das ergibt
-
{{Displayed math||<math>x^{\tan x} = e^{\tan x\cdot\ln x}\,\textrm{.}</math>|(*)}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{\tan x} = e^{\tan x\cdot\ln x}\,\textrm{.}</math>|(*)}}
-
Now, we obtain the derivative by first using the chain rule
+
Jetzt leiten wir die Funktion mit der Kettenregel ab
-
{{Displayed math||<math>\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}} = {}\rlap{e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}\bigr)'}\phantom{e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}} = {}\rlap{e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}\bigr)'}\phantom{e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)}</math>}}
-
and then the product rule
+
und verwenden die Faktorregel
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}}{}
\phantom{\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}}{}
&= e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)\\[5pt]
&= e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)\\[5pt]
Zeile 21: Zeile 21:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
where we have used (*) in reverse.
+
wobei wir (*) rückwärts verwendet haben.

Aktuelle Version

Es gibt keine Regel, um die Funktion direkt abzuleiten. Stattdessen verwenden wir die Regel

ab=elnab=eblna

Das ergibt

xtanx=etanxlnx. (*)

Jetzt leiten wir die Funktion mit der Kettenregel ab

ddxetanxlnx=etanxlnxtanxlnx 

und verwenden die Faktorregel

=etanxlnx(tanx)lnx+tanx(lnx)=etanxlnx1cos2xlnx+tanxx1=etanxlnxlnxcos2x+xtanx=xtanxlnxcos2x+xtanx

wobei wir (*) rückwärts verwendet haben.

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