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Lösung 2.2:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K
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We could substitute <math>u=x-1</math>, but we would then still have the problem of the second term, 3, in the denominator. Instead, we take out a factor 3 from the denominator,
+
Es wäre möglich, die Substitution <math>u=x-1</math> zu machen, aber dies würde nicht das Problem mit dem Term 3 lösen. Wir ziehen stattdessen den Faktor 3 aus den Nenner
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}
\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}
&= \int \frac{dx}{3\bigl(\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1\bigr)}\\[5pt]
&= \int \frac{dx}{3\bigl(\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1\bigr)}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and move a factor <math>\tfrac{1}{3}</math> into the square <math>(x-1)^2</math>,
+
und schreiben den Faktor <math>\tfrac{1}{3}</math> in das Quadrat <math>(x-1)^2</math>.
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{{Displayed math||<math>\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}</math>}}
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Now, we substitute <math>u = (x-1)/\!\sqrt{3}</math> and get rid of all the problems at once,
+
Jetzt machen wir die Substitution <math>u = (x-1)/\!\sqrt{3}</math> und erhalten
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}
\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}
&= \left\{\begin{align}
&= \left\{\begin{align}

Aktuelle Version

Es wäre möglich, die Substitution u=x−1 zu machen, aber dies würde nicht das Problem mit dem Term 3 lösen. Wir ziehen stattdessen den Faktor 3 aus den Nenner

dx(x−1)2+3=dx331(x−1)2+1=31dx31(x−1)2+1

und schreiben den Faktor 31 in das Quadrat (x−1)2.

31dx31(x−1)2+1=31dx3x−12+1

Jetzt machen wir die Substitution u=(x−1)3  und erhalten

31dx3x−12+1=udu=(x−1)3=dx3=313duu2+1=33duu2+1=13arctanu+C=13arctan3x−1+C.
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