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Lösung 3.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (12:38, 14. Okt. 2011) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
r^5 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-
5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
+
5\alpha &= \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= \sqrt[5]{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]
r &= \sqrt[5]{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/5} = 2^{1/10}\,,\\[5pt]
-
\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).}
+
\alpha &= \frac{1}{5}\Bigl(\frac{5\pi}{4}+2n\pi\Bigr) = \frac{\pi}{4} + \frac{2n\pi}{5}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}

Aktuelle Version

Wir bringen z und −1−i in Polarform.

z−1−i=r(cos+isin)=2cos45+isin45 

Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung

r5(cos5+isin5)=2cos45+isin45. 

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten

r55=2=45+2n(n ist eine beliebige ganze Zahl).


Die Argumente 5 und 54 können sich mit einem Vielfachen von 2 unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen.

Wir erhalten also

r=52=21215=2110=5145+2n=4+52n(n ist eine beliebige ganze Zahl).

Wir sehen, dass das Argument nur 5 verschiedene Werte annimmt

4, 4+52, 4+54, 4+56 und 4+58,

da sich die Winkel dann wiederholen.

Die Wurzeln sind also

z=2110cos4+52n+isin4+52n 

für n=0, 1, 2, 3 und 4.

Alernativer Lösungsweg: Exponentialdarstellung

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