Lösung 3.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir bringen z und −1−i in Polarform.

z−1−i=r(cos+isin)=2cos45+isin45

Mit den Moivreschen Gesetz erhalten wir die Gleichung

r5(cos5+isin5)=2cos45+isin45.

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten und erhalten

r55=2=45+2n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

Die Argumente 5 und 54 können sich mit einem Vielfachen von 2 unterscheiden und trotzdem derselben komplexen Zahl entsprechen.

Wir erhalten also

r=52=21215=2110=5145+2n=4+52n(n ist eine beliebige natürliche Zahl).

Wir sehen, dass das Argument nur 5 verschiedene Werte annimmt

4, 4+52, 4+54, 4+56 und 4+58,

da sich die Winkel dann wiederholen.

Die Wurzeln sind also

z=2110cos4+52n+isin4+52n

für \displaystyle n=0, \displaystyle 1, \displaystyle 2, \displaystyle 3 und \displaystyle 4.

Alernativer Lösungsweg: Exponentialdarstellung