Testsida2

Förberedande kurs i matematik

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 152: Rad 152:
===Övning 1.9.4===
===Övning 1.9.4===
<div class="ovning">
<div class="ovning">
-
Låt $z=a+bi$ och $w=c+di$ vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:
+
Låt <math>z=a+bi</math> och <math>w=c+di</math> vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:
{| width="100%" cellspacing="10px"
{| width="100%" cellspacing="10px"
|a)
|a)

Versionen från 18 juni 2012 kl. 13.46

Innehåll

Övning 1.2.1

Beräkna

a) \displaystyle \displaystyle 4^{3/2} b) \displaystyle \displaystyle 8^{1/3} c) \displaystyle \displaystyle 9^{-1/2} d) \displaystyle \displaystyle \sqrt{0,25} e) \displaystyle \displaystyle 4^{1,5}

Övning 1.2.2

Vilken är störst, \displaystyle 1343488^{3/2+4/3-17/6} eller \displaystyle 3/2?


Övning 1.2.3

Beräkna \displaystyle 2^{2+1}+3^{6/2}+(2+3)^3+3444^{7^0}

Övning 1.4.1

Beräkna följande

a) 18 modulo 7 b) 345332233 modulo 2 c) 156 modulo 29 d) 334 modulo 10

Övning 1.4.2

Beräkna följande

a) \displaystyle 36+23 b) \displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)} c) \displaystyle 5^{345}+55

Övning 1.4.2

Beräkna följande

a) \displaystyle 36+23 b) \displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)} c) \displaystyle 5^{345}+55

Övning 1.5.1

Kovertera följande tal till bas 5.

a) \displaystyle 4 b) \displaystyle 5 c) \displaystyle 125 d) \displaystyle 68


Övning 1.5.2

Beräkna \displaystyle 1002_3-234_5 och ge svaret i bas 8.

Tips: Konvertera talen till bas 10.

Övning 1.8.1

Beräkna

a) \displaystyle \displaystyle (1+2i) \left( 2-\frac{i}{4} \right) b) \displaystyle \displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i))

Övning 1.8.2

Vad är realdelen/imaginärdelen till

a) \displaystyle \displaystyle -1+5i b) \displaystyle \displaystyle -\pi i


Övning 1.8.3

Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir \displaystyle -1, och därför införde man talet \displaystyle i, definierat som \displaystyle \sqrt{-1}.

Men löser det egentligen problemet? Förskjuter vi inte bara problemet till att bestämma vad \displaystyle \sqrt{i} blir?

Inte riktigt: undersök ekvationen \displaystyle (a+bi)^2=i, där \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal.

Tips: Kom ihåg att om två komplexa tal är lika, så är även realdelarna lika, och imaginärdelarna är lika!

Övning 1.8.4

Vad blir \displaystyle \frac{1}{i} för något?

Tips: Pröva att förlänga bråket med något!

Övning 1.9.2

Förkorta \displaystyle \displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2} så lång som möjligt.

Övning 1.9.3

Faktorisera

a) \displaystyle \displaystyle x^2+1 b) \displaystyle \displaystyle x^2+y^2


Övning 1.9.4

Låt \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:

a) \displaystyle \real(z)=\real(\bar{z}) b) \displaystyle \im(z)=\im(\bar{z}) c) \displaystyle \real(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) d) \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w} e) \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=2\real(z)+2\real(w)-z-w

\end{enumerate} \textbf{Lösningar} \begin{enumerate}[(a)]

\item Sant, eftersom

\begin{align*}

\real(z)&=\real(a+bi)=a\\

\real(\bar{z})&=\real(a-bi)=a \end{align*}

\item Falskt, eftersom

\begin{align*}

\im(z)&=\im(a+bi)=b\\

\im(\bar{z})&=\im(a-bi)=-b \end{align*}

\item Sant, eftersom

\begin{align*} \frac{1}{2}(z+\bar{z})=\frac{1}{2}(a+bi+a-bi)=\frac{1}{2}(2a)=a=\real(z) \end{align*}

\item Sant, eftersom

\begin{align*} \bar{z}+\bar{w}&=a-bi+c-di=(a+c)-(b+d)i=\overline{(a+c)+(b+d)i}=\overline{z+w} \end{align*}

\item Sant, eftersom

\begin{align*} 2\real(z)+2\real(w)-z-w=2a+2c-a-bi-c-di=a-bi+c-di=\bar{z}+\bar{w} \end{align*} \end{enumerate}

Övning 3.1.1

Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm

a) \displaystyle \displaystyle A\cup B b) \displaystyle \displaystyle A\cap B c) \displaystyle \displaystyle A\setminus B d) \displaystyle \displaystyle B \setminus A


Övning 3.1.2

Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.

a) \displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2.
b) \displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3.

\displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}.

c) \displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x}.
d) \displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)).
e) \displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)).


Övning 3.1.3

Låt \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} så att \displaystyle f(x)=x^2 och \displaystyle g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x) = -\sqrt{x}. Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner:

a) \displaystyle f
b) \displaystyle g
c) \displaystyle h(x) = f(g(x)).