18.1 Egenvärden och egenvektorer

Övning 22.1

Låt O123 vara ett ON-system i rummet. Bestäm egenvärden och egenvektorer för den linjära avbildning som beskriver

a) ortogonal projektion i planet x1+x2+x3=0

b) spegling i planet x1+x2+x3=0

c) vridning 2 kring 1+2+3

d) vridning kring 1+2+3

Övning 22.2

Låt F vara en linjär avbildning på rummet med matrisen A=1−22−102−111.

a) Visa att 1=1 är ett egenvärde med tillhörande egenvektor 1=1−11 till F.

b) Visa att 2=0−11 är en egenvektor till F. Bestäm tillhörande egenvärde 2.

c) Visa att 3=2 är ett egenvärde till F och bestäm tillhörande egenvektor 3.

Övning 22.3

Antag att F är en linjär avbildning i rummet som har matrisen

300130001

a) Bestäm egenvärdena till F.

b) Bestäm egenrummen till F.

Övning 22.4

Bestäm en bas för R3 av egenvektorer till matrisen

9−3−3−48−4−5−57

Övning 22.5

Avbildningen F:R3R3 ges i basen av matrisen −10021022−1.

Bestäm en bas bestående av egenvektorer till F.

Övning 22.6

Låt =123 vara en bas för rummet. En linjär avbildning F på rummet ges av

F(1)=21+2F(2)=1+22F(3)=31+32+3

Bestäm om möjligt en bas för rummet som består av egenvektorer till F.

Övning 22.7

Avbildningen \displaystyle F ges i plan ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av matrisen \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) . Bestäm egenvärden och egenvektorer till \displaystyle F . Finns det någon bas bestående av egenvärden och egenvektorer? Bestäm en ON-bas som innehåller så många egenvektorer som möjligt och bestäm \displaystyle F :s matris i denna bas.