Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Theorie

Übungen

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A. Rechnungen mit Zahlen

Rechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechenarten der Arithmetik. Folgende Begriffe beschreiben die vier Grundrechenarten und sind daher in der Mathematik sehr wichtig:

Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal

\displaystyle 3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}

Bei der Subtraktion dagegen kommt es auf die Reihenfolge an.

\displaystyle 5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}

Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist immer eine nicht negative Zahl. Um den Abstand zu berechnen, muss man also die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Der Abstand zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3. Den Abstand schreibt man als Betrag der Differenz, also

\displaystyle | 5-2| = |2-5|=3\,\mbox{.}

Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal

\displaystyle 3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}

Bei der Division hingegen wieder nicht.

\displaystyle \frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}

Dass bei der Addition, Multiplikation und dem Abstand die Reihenfolge egal ist, bedeutet, dass für diese Operationen das Kommutativgesetz gilt.

Für die Addition und die Multiplikation gilt auch das Assoziativgesetz:

B - Operatorrangfolge

Wenn ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechenarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:

1. Klammern (die innersten Klammern zuerst)
2. Multiplikation und Division
3. Addition und Subtraktion

Man sagt auch "Punktrechnung geht vor Strichrechnung", wobei Multiplikation und Division als Punktrechnung gelten und Addition und Subtraktion als Strichrechnung.

C -"Unsichtbare" Klammern

Bei der Division sollen Zähler und Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen, dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare Klammern" gibt.

Dies muss man besonders beachten, wenn man einen Taschenrechner benutzt.

\displaystyle \frac{8+4}{2+4}

muss als \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die richtige Antwort \displaystyle 2 gibt. Ein häufiger Fehler ist, dass man stattdessen \displaystyle 8 + 4/2 + 4 schreibt. Dies interpretiert der Rechner als \displaystyle 8 + (4/2) + 4 = 14 (nach Punkt-vor-Strich-Regel) oder als \displaystyle (8 + 4)/2 + 4 = 10. (Wenn er die Punkt-vor-Strich-Regel nicht berücksichtigt)

D - Verschiedene Zahlen

Die Zahlen, die wir normalerweise verwenden, um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:

Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengeraden kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, nennt man \displaystyle \Bbb{R}. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an: von zwei Zahlen auf der Zahlengeraden ist diejenige Zahl, die links von der anderen steht, die kleinere der beiden Zahlen. Wir schreiben z.B. 0.5 < \displaystyle \sqrt{2} oder \displaystyle - \frac{4}{3} < e .

In den reellen Zahlen gibt es folgende Mengen von Zahlen:

Natürliche Zahlen (normalerweise mit \displaystyle \Bbb{N} bezeichnet)

Die natürlichen Zahlen verwendet man beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ... Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{N} = \{ 0,1,2, ... \} und benutzen \displaystyle a \in \Bbb{N} , um auszudrücken, dass a eine natürliche Zahl ist. Dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, schreiben wir als \displaystyle \Bbb{N} \subset \Bbb{R}.

Ganze Zahlen (\displaystyle \Bbb{Z})

Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{Z} = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} und benutzen \displaystyle n \in \Bbb{Z}, um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist. Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen, und die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: \displaystyle \Bbb{N} \subset \Bbb{Z} \subset \Bbb{R}.

Rationale Zahlen (\displaystyle \Bbb{Q})

Die rationalen Zahlen sind die Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und deren Nenner nicht 0 ist. Die folgenden Zahlen sind Beispiele für rationale Zahlen

\displaystyle -\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128} \in \Bbb{Q}

Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \, |\, m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0 \} .

Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:

\displaystyle -1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}

Wir schreiben dafür auch \displaystyle \Bbb{Z} \subset \Bbb{Q} \subset \Bbb{R}.

Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:

\displaystyle 2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}

Der Bruch, bei dem Zähler und Nenner den kleinst möglichen Betrag haben, nennt man den vollständig gekürzten Bruch.

Irrationale Zahlen

Die Zahlen auf der Zahlengeraden, die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen:

\displaystyle \sqrt{2} und \displaystyle \sqrt{3}, aber auch andere Zahlen, wie \displaystyle \pi.

E - Dezimaldarstellung

Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden mit einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Dezimalstellen. Dezimalstellen werden auch Nachkommastellen genannt.

Um eine Dezimalzahl als Bruch zu schreiben, werden Ziffern vor dem Komma mit \displaystyle 1, 10, 100, ... multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit \displaystyle \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, ... multipliziert werden.

Die Brüche \displaystyle \frac{5}{10} , \frac{8}{10000} und \displaystyle \frac{12 345 678}{10000} heißen auch Dezimalbrüche, weil ihr Nenner eine Potenz von 10 ist und zehn auf lateinisch decem heißt.

Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man eine Division ausführt (z.B. ist \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} gleich "3 durch 4", oder 0,75). Manche rationale Zahlen können auch auf einen Dezimalbruch erweitert werden (z.B. ist \displaystyle \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 ).

Mehr über Schriftliche Division auf Wikipedia.

Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung, die sich endlos oft wiederholt. (Gegebenenfalls wiederholt sich die 0 unendlich oft. Siehe Bsp. 5 a.) Die irrationalen Zahlen haben im Gegensatz zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

Umgekehrt gilt auch: wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.

F - Rundung

Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen. Die Ziffern \displaystyle 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4 werden abgerundet, während die Ziffern \displaystyle 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9 aufgerundet werden.

Das Symbol \displaystyle \approx (ist ungefähr gleich) zeigt an, dass eine Zahl gerundet ist.

G - Zahlen vergleichen

Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwendet man die Verhältniszeichen > (größer als), < (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kann bestimmt werden, indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale Zahlen mit dem selben Nenner schreibt.

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