Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Theorie

Übungen

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.

B - Der trigonometrische Pythagoras

Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass \displaystyle (\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,} das normalerweise als \displaystyle \sin^2\!v + \cos^2\!v = 1 geschrieben wird.

C - Symmetrien

Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.

Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.

Spiegelung an der x-Achse

Durch Spiegelung an der x-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle -v. Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die x-Koordinate aus, während die y-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht. \displaystyle \begin{align*} \cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\ \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Spiegelung an der y-Achse

Durch Spiegelung an der y-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi-v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der negativen x-Achse) Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die y-Koordinate aus, während die x-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht. \displaystyle \begin{align*} \cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Spiegelung an der Geraden y = x

Durch eine Spiegelung an der Geraden wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi/2 - v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der positiven y-Achse). Durch die Spiegelung tauschen die x- und die y- Koordinaten ihre Plätze. \displaystyle \begin{align*} \cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\ \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Drehung um den Winkel \displaystyle \mathbf{\pi/2}

Durch eine Umdrehung von \displaystyle \pi/2 wird der Winkel \displaystyle v zu \displaystyle v+\pi/2. Durch die Drehung wird die Koordinate \displaystyle (x,y) zu \displaystyle (-y,x). \displaystyle \begin{align*} \cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\ \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.} \end{align*}

D - Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln

Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie \displaystyle \sin(u+v). Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme

Um die Doppelwinkelfunktionen \displaystyle \sin 2v und \displaystyle \cos 2v zu erhalten, kann man die Sonderfälle \displaystyle \sin(v + v) und \displaystyle \cos(v + v) der Additionstheoreme betrachten

Indem man in diese Formel \displaystyle 2v mit \displaystyle v ersetzt und natürlich auch \displaystyle v mit \displaystyle v/2, erhält man für \displaystyle \cos 2v

\displaystyle \cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}

Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term \displaystyle \cos^2(v/2) los

\displaystyle \cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}

also

Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term \displaystyle \sin^2(v/2) loszuwerden. So erhalten wir statt dessen

Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .