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2.2 Lineare Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Inhalt:

  • Lineare Gleichungen
  • Gleichung einer Geraden
  • Geometrische Probleme
  • durch lineare Gleichungen definierte Gebiete

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen.
  • Gleichungen zwischen den Formen y = kx + m und ax + by + c = 0. umwandeln.
  • Geraden, die durch eine lineare Gleichung definiert sind, zeichnen.
  • Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen.
  • Gebiete, die durch lineare Gleichungen definiert sind, zeichnen und die Fläche dieser Gebiete berechnen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Lineare Gleichungen

Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus.

Beispiel 1

  1. Löse die Gleichung x+3=7.

    Wir subtrahieren 3 von beiden Seiten
    x+3−3=7−3.
    Die linke Seite ist danach x, also ist unsere Gleichung gelöst:
    x=7−3=4.
  2. Löse die Gleichung 3x=6.

    Wir dividieren beide Seiten mit 3
    33x=36.
    Nachdem wir 3 auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung:
    x=36=2.
  3. Löse die Gleichung 2x+1=5.

    Zuerst subtrahieren wir 1 von beiden Seiten, sodass 2x alleine links steht
    2x=5−1.
    Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 2 und bekommen die Lösung:
    x=24=2.

Eine lineare Gleichung kann immer in die Normalform ax=b gebracht werden. Die Lösung bekommen wir einfach mit Division durch a, x=ba (nur wenn a=0).

Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen, die notwendig sind, um die Gleichung in die Standardform zu bringen. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen, die alle in die Standardform gebracht werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten.

Beispiel 2

Löse die Gleichung 2x−3=5x+7.


Nachdem x links und rechts erscheint, subtrahieren wir von beiden Seiten der Gleichung 2x

2x−3−2x=5x+7−2x

und jetzt kommt x nur in der rechten Seite vor

−3=3x+7.

Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung

−3−7=3x+7−7

und erhalten 3x nur auf der rechten Seite der Gleichung

−10=3x.

Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten durch 3

3−10=33x

und erhalten die Lösung

x=−310.

Beispiel 3

Löse die Gleichung ax+7=3x−b nach x auf.


Indem wir 3x von beiden Seiten subtrahieren

ax+7−3x=3x−b−3x
ax+7−3x=−b

und danach 7 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir

ax+7−3x−7=−b−7
ax−3x=−b−7

Jetzt sind alle Terme, die x enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor x ausklammern (Anwendung des Distributivgesetzes).

(a−3)x=−b−7.

Wenn wir beide Seiten durch a−3 dividieren, erhalten wir die Lösung

x=a−3−b−7.

Beachte hierbei, dass a nicht 3 sein darf, da wir sonst durch Null teilen würden.

Man sieht nicht immer deutlich, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir, dass Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können.

Beispiel 4

Löse die Gleichung  (x−3)2+3x2=(2x+7)2.

Wir multiplizieren die quadratischen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung aus.

x2−6x+9+3x2=4x2+28x+49,
4x2−6x+9=4x2+28x+49.

Hier subtrahieren wir 4x2 von beiden Seiten

−6x+9=28x+49.

und addieren 6x zu beiden Seiten

9=34x+49.

und subtrahieren 49 von beiden Seiten

−40=34x.

und schließlich dividieren wir beide Seiten durch 34

x=34−40=−1720.

Beispiel 5

Löse die Gleichung  x+2x2+x=32+3x.


Wir sammeln beide Terme auf der linken Seite der Gleichung

x+2x2+x−32+3x=0.

und schreiben die Brüche mit gemeinsamen Nennern

(x+2)(2+3x)(x2+x)(2+3x)−3(x2+x)(2+3x)(x2+x)=0

und vereinfachen den Zähler

(x2+x)(2+3x)(x+2)(2+3x)−3(x2+x)=0
(x2+x)(2+3x)3x2+8x+4−(3x2+3x)=0
5x+4(x2+x)(2+3x)=0.

Diese Gleichung ist nur gültig, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist).

5x+4=0

und wir haben x=−54.

B - Geraden

Gleichungen wie

y=2x+1
y=−x+3
y=21x−5

sind Beispiele von linearen Gleichungen, die man wie

y=kx+m

schreiben kann, wobei k und m Konstanten sind.

Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante k bestimmt, wie steil die Gerade im Verhältnis zur x-Achse ist und die Konstante m ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.

[Image]

Die Gerade y = kx + m hat die Steigung k und kreuzt die y-Achse im Punkt (0,m)

Die Konstante k wird die Steigung genannt und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven x-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um k Einheiten in der positiven y-Richtung ergibt. Also ist die Steigung:

  • Aufwärts wenn k0.
  • Abwärts wenn k0.

Eine horizontale Gerade, die parallel mit der x-Achse ist, hat k=0 während eine vertikale Gerade, parallel mit der y-Achse nicht in der Form y=kx+m geschrieben werden kann (Wenn die Gerade auf der y-Achse liegt, ist jeder Punkt der Gerade ein Schnittpunkt mit der y-Achse, also gibt es zuviele mögliche m. Wenn die Gerade nicht auf der y-Achse liegt, gibt es keinen reellen Schnittpunkt mit der y-Achse, und darum kein m.).

Beispiel 6

  1. Zeichne die Gerade y=2x−1.

    Wenn wir die Gleichung mit der Standardform y=kx+m vergleichen, sehen wir, dass k=2 und m=−1. Dies bedeutet, dass die Gerade die Steigung 2 hat und die y-Achse im Punkt (0−1) kreuzt. Siehe die Zeichnung unten links.
  2. Zeichne die Gerade y=2−21x.

    Die Gleichung kann wie y=−21x+2 geschrieben werden. Wir sehen, dass die Steigung k=−21 ist, und dass m=2. Siehe die Zeichnung unten rechts.

[Image]

[Image]

Line y = 2x - 1 Line y = 2 - x/2

Beispiel 7

Was ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte (21) und (53) geht?

Wenn wir die Punkte zeichnen, sehen wir, dass 5−2=3 Einheiten entlang der Geraden in der x-Richtung 3−1=2 Einheiten in der y-Richtung entsprechen. Also entspricht 1 Schritt in der x-Richtung k=5−23−1=32 Schritte in der y-Richtung. Also ist die Steigung k=32.

Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen, dass für zwei Geraden, die rechtwinkelig sind und die Steigungen k1 und k2 haben, dass k2=−1k1, oder anders geschrieben k1k2=−1.

[Image]

Die Gerade in der linken Zeichnung hat die Steigung k, also entspricht 1 Einheit in die x-Richtung, k Einheiten in die y-Richtung. Falls die Gerade 90 im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Zeichnung rechts. Wir sehen, dass die Steigung jetzt −k1 ist, nachdem −k Einheiten in die x-Richtung 1 Einheit in die y-Richtung entsprechen.

Beispiel 8

  1. Die Geraden y=3x−1 und y=3x+5 sind parallel.
  2. Die Geraden y=x+1 und y=2−x sind orthogonal zueinander.

Alle Geraden(auch die vertikalen) können generell wie

ax+by=c

geschrieben werden, wobei a, b und c Konstanten sind.

Beispiel 9

  1. Bringe die Gerade y=5x+7 in die Form ax+by=c.

    Wir subtrahieren den x-Term von beiden Seiten:−5x+y=7.
  2. Schreibe die Gerade 2x+3y=−1 auf der Form y=kx+m.

    Wir subtrahieren den x-Term von beiden Seiten

    3y=−2x−1

    und dividieren beide Seiten durch 3
    y=−32x−31.

Hier wird gezeigt, wie die Gleichung einer Geraden aus zwei ihrer Punkte konstruiert werden kann.

C - Flächen in einem Koordinatensystem

Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren.

Beispiel 10

  1. Zeichne das Gebiet im xy-Koordinatensystem, das die Ungleichung y2 erfüllt.

    Das Gebiet besteht aus allen Punkten, (xy), wo die y-Koordinate größer oder gleich 2 ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden y=2.

    [Image]

  2. Zeichne das Gebiet im xy-Koordinatensystem, dass die Ungleichung yx erfüllt.

    Ein Punkt (xy), der die Ungleichung yx erfüllt, muss eine x-Koordinate haben, die größer als die y-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden y=x.

    [Image]


    Dass die Gerade y=x gepunktet ist, heißt, dass sie nicht zum gefärbten Gebiet gehört.

Beispiel 11

Zeichne das Gebiet im xy-Koordinatensystem, das die Ungleichung 23x+2y4 erfüllt.

Die doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden

3x+2y2 und 3x+2y4.

Wir subtrahieren den x-Term von beiten Seiten und dividieren danach beide Seiden durch 2

y1−23x und y2−23x.

Die Punkte, die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden y=1−23x, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden y=2−23x liegen.

[Image]

Das linke Bild zeigt das Gebiet 3x+2y2  und das rechte Bild zeigt das Gebiet 3x+2y4 .

Die Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten.

[Image]

Das Bild zeigt das Gebiet 23x+2y4 .

Beispiel 12

Die Geraden y=x, y=−x und y=2 begrenzen ein Dreieck.

[Image]


Wir sehen, dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss, um im Dreieck zu liegen:

Die y-Koordinate muss geringer als 2 sein. Die y-Koordinate muss aber auch größer als 0 sein. Also muss gelten, dass 0y2.

Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden y=−x und y=x liegen müssen. Dies entspricht, dass −yxy. Nachdem wir Begrenzungen für die y-Koordinate haben, wissen wir auch, dass x kleiner als 2 sein muss und größer als −2.

Die Grundseite (oder Basis) des Dreiecks ist 4 und die Höhe ist 2.

Die Fläche des Dreiecks ist daher 422=4.



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .


Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes ...

Fertige immer eine eigene kleine Zeichnung an, wenn Du geometrische Probleme lösen willst, und zeichne genau. Mit einer guten Zeichnung ist das Problem oft schon gelöst, während eine schlechte Zeichnung irreführend sein kann.


Nützliche Websites

Experimente mit Geradengleichungen (engl.)

Experimente mit Archimedischen Dreiecken (engl.)

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