2.3 Quadratische Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Inhalt:

  • Quadratische Ergänzung
  • Quadratische Funktionen
  • Faktorisierung
  • Parabeln

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Quadratische Ergänzungen für quadratische Ausdrücke ausführen.
  • Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen und die Lösungen kontrollieren.
  • Wenn möglich, eine quadratische Gleichung faktorisieren.
  • Faktorisierte, oder fast faktorisierte quadratische Gleichungen direkt lösen.
  • Den kleinsten und größten Wert eines quadratischen Ausdruckes finden.
  • Parabeln zeichnen mittels quadratischer Ergänzung.


Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung kann in der Form

\displaystyle x^2+px+q=0

geschrieben werden, wobei \displaystyle x unbekannt ist, und \displaystyle p und \displaystyle q Konstanten sind.

Einfache quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man die Wurzeln zieht.

Die einfache quadratische Gleichung \displaystyle x^2=a mit \displaystyle a > 0, hat zwei Lösungen, nämlich \displaystyle x=\sqrt{a} und \displaystyle x=-\sqrt{a}.

Beispiel 1

  1. \displaystyle x^2 = 4 \quad hat die Lösungen \displaystyle x=\sqrt{4} = 2 und \displaystyle x=-\sqrt{4}= -2.
  2. \displaystyle 2x^2=18 \quad kann man als \displaystyle x^2=9 schreiben, also gibt es die Lösungen \displaystyle x=\sqrt9 = 3 und \displaystyle x=-\sqrt9 = -3.
  3. \displaystyle 3x^2-15=0 \quad kann man als \displaystyle x^2=5 schreiben, also gibt es die Lösungen \displaystyle x=\sqrt5 \approx 2{,}236 und \displaystyle x=-\sqrt5 \approx -2{,}236.
  4. \displaystyle 9x^2+25=0\quad hat keine (reelle) Lösung, weil die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 ist (denn \displaystyle x^2 ≥ 0).
    (Man kann diese Gleichung im Komplexen lösen und man erhält dann komplexe Lösungen.)

Beispiel 2

  1. Löse die einfache quadratische Gleichung \displaystyle \ (x-1)^2 = 16.

    Wir gehen genauso vor wie in Beispiel 1a) und erhalten
    • \displaystyle x-1 =\sqrt{16} = 4\, also \displaystyle x=1+4=5,
    • \displaystyle x-1 = -\sqrt{16} = -4\, also \displaystyle x=1-4=-3.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2(x+1)^2 -8=0.

    Wir addieren \displaystyle 8 auf beiden Seiten der Gleichung und dividieren danach durch \displaystyle 2,
    \displaystyle (x+1)^2=4 \; \mbox{.}

    Wir haben eine einfach quadratische Gleichung erhalten. Diese lösen wir, indem wir die Wurzel ziehen. Die Lösungen sind

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}
    • \displaystyle x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}

Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, kann man das Prinzip der quadratischen Ergänzung oder die p-q-Formel benutzen. Wir erklären erst die quadratische Ergänzung an Beispielen und dann die p-q-Formel. Die p-q-Formel kann aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden.

Die binomische Formel lautet

\displaystyle x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2\,.

Subtrahieren wir \displaystyle a^2 von beiden Seiten, bekommen wir

Quadratische Ergänzung:

\displaystyle x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2

und \displaystyle (a+x)^2 = a^2 ist eine einfache quadratische Gleichung, die wir durch Wurzelziehen lösen können.

Beispiel 3

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2 +2x -8=0.

    Wir benutzen die quadratische Ergänzung: \displaystyle x^2+2x (hier ist also \displaystyle a=1)
    \displaystyle \underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,

    wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie

    \displaystyle (x+1)^2 -9 = 0,

    geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Lösungen

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{9} = 3\,, also \displaystyle x=-1+3=2,
    • \displaystyle x+1 =-\sqrt{9} = -3\,, also \displaystyle x=-1-3=-4.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0.

    Wir dividieren zuerst beide Seiten durch 2
    \displaystyle x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}

    Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit \displaystyle a=-\tfrac{1}{2})

    \displaystyle \textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1\,.

    Dies ergibt die Gleichung

    \displaystyle \textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}

    mit den Lösungen

    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}.

Hinweis:

Für jede gefundene Lösung können wir die Probe machen, indem wir die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu prüfen:

  • \displaystyle x = 2 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.
  • \displaystyle x = -4 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.

In beide Fällen erhalten wir linke Seite = rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.


Herleitung der p-q-Formel aus der quadratischen Ergänzung


Mit der quadratischen Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten.

\displaystyle x^2+px+q=0

hat die (rellen) Lösungen

\displaystyle x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\,,

solange der Ausdruck in der Wurzel nicht negativ ist.

Wir benutzen die quadratische Ergänzung mit \displaystyle a = \frac{p}{2}

\displaystyle x^2+px+q {\,\,} = {\,\,} x^2 + 2 \frac{p}{2} x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q {\,} = {\,} \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q


Damit hat die allgemeine quadratische Gleichung \displaystyle x^2 + px +q = 0 die selben Lösungen wie die einfache quadratische Gleichung \displaystyle \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q .

Die einfache quadratische Gleichung lösen wir durch das Ziehen der Wurzel.

Wir erhalten die beiden Lösungen \displaystyle x + \frac{p}{2} = \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} und \displaystyle x + \frac{p}{2} = - \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q}

Und damit hat man die p-q-Formel.


In manchen Fällen kann man eine quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten.

Beispiel 4

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-4x=0.

    Wir können die linke Seite faktorisieren, weil der Faktor \displaystyle x in allen Termen auftritt. Nach Anwendung des Distributivgesetzes
    \displaystyle x(x-4)=0.
    Die linke Seite der Gleichung ist nur dann null, wenn einer ihrer Faktoren null ist.
    • \displaystyle x =0,\quad oder
    • \displaystyle x-4=0\quad. Dies ergibt die Lösungen \displaystyle \quad x=4.

B - Quadratische Funktionen

Die Funktionen

\displaystyle \eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}

sind Beispiele von quadratischen Funktionen. Die allgemeine Formel für eine quadratische Funktion ist

\displaystyle y=ax^2+bx+c\,,

wobei \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstanten sind und \displaystyle a\ne0.

Andere Schreibweisen für diese Funktionen sind \displaystyle f(x) = ax^2 + bx +c oder \displaystyle x \mapsto ax^2 + bx +c .

Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Zeichnungen zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von \displaystyle y=x^2 und \displaystyle y=-x^2.

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Die linke Zeichnung zeigt die Parabel \displaystyle y=x^2 und die rechte Zeichnung zeigt die Parabel \displaystyle y=-x^2.


Weil der \displaystyle x^2-Term minimal ist, wenn \displaystyle x=0, hat die Parabel \displaystyle y=x^2 ein Minimum in \displaystyle x=0 und die Parabel \displaystyle y=-x^2 hat ein Maximum in \displaystyle x=0.

Jede der beiden Parabeln oben ist symmetrisch bezüglich der \displaystyle y-Achse, weil der Wert von \displaystyle x^2 derselbe ist, egal ob \displaystyle x positiv oder negativ ist.

Beispiel 5

  1. Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=x^2-2.

    Im Vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2 hat diese Parabel(\displaystyle y=x^2-2) einen \displaystyle y-Wert, der 2 Einheiten kleiner ist. Also schieben wir die Parabel \displaystyle y=x^2 einfach zwei Einheiten herunter.

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  1. Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=(x-2)^2.

    Für die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2 müssen wir den \displaystyle x-Wert um zwei Einheiten größer wählen als für die Parabel \displaystyle y=x^2, um denselben \displaystyle y-Wert zu bekommen. Also ist die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2, die Parabel \displaystyle y=x^2 zwei Einheiten nach rechts verschoben.

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  1. Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=2x^2.

    Jeder Punkt auf der Parabel \displaystyle y=2x^2 hat für denselben \displaystyle x-Wert einen zwei Mal so großen \displaystyle y-Wert als die Parabel \displaystyle y=x^2. Also müssen wir die Parabel \displaystyle y=x^2 um einen Faktor \displaystyle 2 in der \displaystyle y-Richtung vergrößern, um die Parabel \displaystyle y=2x^2 zu bekommen.

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Eine allgemeine Parabel kann einfach gezeichnet werden, indem man die quadratische Ergänzung verwendet.

Beispiel 6

Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=x^2+2x+2.


Wenn wir die rechte Seite der Gleichung mit der quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir

\displaystyle x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1

und sehen, dass die Parabel \displaystyle y= (x+1)^2+1 um eine Einheit nach links und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im Vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2.

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Beispiel 7

Bestimme den Schnittpunkt der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, mit der \displaystyle x-Achse.


Alle Punkte auf der \displaystyle x-Achse haben den \displaystyle y-Koordinaten 0. Die Punkte, die auf der Parabel und auch auf der \displaystyle x-Achse liegen, haben also die \displaystyle y-Koordinate 0 und erfüllen die Gleichung

\displaystyle x^2-4x+3=0\mbox{.}

Die quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1

und schließlich

\displaystyle (x-2)^2= 1 \; \mbox{.}

Wir ziehen die Wurzel und erhalten die Lösungen

  • \displaystyle x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad also \displaystyle \quad x=2+1=3,
  • \displaystyle x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad also \displaystyle \quad x=2-1=1.

Die Schnittpunkte der \displaystyle x-Achse mit der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, sind \displaystyle (1,0) und \displaystyle (3,0).

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Beispiel 8

Bestimme den kleinsten Wert des Ausdruckes \displaystyle \,x^2+8x+19\,.


Wir verwenden die quadratische Ergänzung

\displaystyle x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3

und sehen hier, dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate \displaystyle (x+4)^2 immer größer oder gleich 0 ist.

In der Zeichnung unten sehen wir, dass die Parabel \displaystyle y=x^2+8x+19 oberhalb der \displaystyle x-Achse liegt und den kleinsten Wert 3 hat, wenn \displaystyle x=-4.

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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung


Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Nimm dir viel Zeit, um Algebra ordentlich zu lernen. Algebra ist das Alphabet der Mathematik, und kommt überall sonst in der Mathematik vor.


Literaturhinweise Für die, die sich weiter mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Mehr über Quadratische Gleichungen in der Wikipedia

Mehr über quadratische Gleichungen auf mathworld (engl.)

101 uses of a quadratic equation - von Chris Budd und Chris Sangwin (engl.)


Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/2.3_Quadratische_Gleichungen“