3.1 Wurzeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Inhalt:

  • Quadratische und allgemeine Wurzeln
  • Wurzelausdrücke

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Die Quadratwurzel von kleinen ganzen Zahlen berechnen.
  • Wissen, dass die Quadratwurzel nicht für negative Zahlen definiert ist.
  • Wissen, dass die Quadratwurzel immer nicht-negativ ist.
  • Wurzelausdrücke vereinfachen.
  • Wissen, welche Vereinfachungen von Wurzeln gültig sind.
  • Wissen, wann die n-te Wurzel von negativen Zahlen definiert ist.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Quadratwurzeln

Das schon bekannte Symbol \displaystyle \sqrt{a} bezeichnet die Quadratwurzel einer positiven Zahl \displaystyle a, mit anderen Worten diejenige, die mit sich selbst multipliziert, \displaystyle a ergibt. Es gibt aber eine genauere Definition der Quadratwurzel.

Der Ausdruck \displaystyle x^2 = 4 hat wie bekannt zwei Wurzeln, \displaystyle x = 2 und \displaystyle x = -2, da \displaystyle 2\cdot 2 = 4 und \displaystyle (-2)\cdot(-2) = 4. Daher scheint es natürlich, dass \displaystyle \sqrt{4} entweder \displaystyle -2 oder \displaystyle 2, also \displaystyle \sqrt{4}= \pm 2. Dies ist aber nicht der Fall, sondern \displaystyle \sqrt{4} bezeichnet nur die positive Wurzel \displaystyle 2.


Die Quadratwurzel \displaystyle \sqrt{a} ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert \displaystyle a ergibt, also die nicht negative Lösung der Gleichung \displaystyle x^2 = a. Es gilt also \displaystyle \sqrt{x^{2}}=|x|.

Die Quadratwurzel von \displaystyle a kann auch als \displaystyle a^{1/2} geschrieben werden.

Deshalb ist es falsch, \displaystyle \sqrt{4}= \pm 2, zu schreiben, aber richtig, dass die Gleichung \displaystyle x^2 = 4 die Wurzeln (Lösungen) \displaystyle x = \pm 2 hat.

Beispiel 1

  1. \displaystyle \sqrt{0}=0 \quad nachdem \displaystyle 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 und \displaystyle 0 nicht negativ ist.
  2. \displaystyle \sqrt{100}=10 \quad nachdem \displaystyle 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 und \displaystyle 10 eine positive Zahl ist.
  3. \displaystyle \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad nachdem \displaystyle 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 und \displaystyle 0{,}5 eine positive Zahl ist.
  4. \displaystyle \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad nachdem \displaystyle 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 und \displaystyle 1{,}4142 positiv ist.
  5. Die Gleichung \displaystyle x^2=2 hat die Wurzeln (Lösungen) \displaystyle x=\sqrt{2} \approx 1{,}414 und \displaystyle x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414.
  6. \displaystyle \sqrt{-4}\quad ist nicht definiert, nachdem es keine reelle Zahl \displaystyle x gibt, die, die Gleichung \displaystyle x^2=-4 erfüllt.
  7. \displaystyle \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad nachdem \displaystyle \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7.

Nachdem die Quadratwurzel von a auch als \displaystyle \sqrt{a} = a^{1/2} geschrieben werden kann, gelten die Rechenregeln für Potenzen auch für Wurzeln. Zum Beispiel haben wir

\displaystyle \sqrt{9\cdot 4}

= (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}

Auf diese Weise können wir folgende Rechenregeln herleiten, die für alle reellen Zahlen \displaystyle a, b \ge 0 gelten.

\displaystyle \begin{align*}

\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt] \sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt] a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b} \end{align*}

(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)

Beispiel 2

  1. \displaystyle \sqrt{64\cdot 81} = \sqrt{64}\cdot \sqrt{81} = 8\cdot 9 = 72
  2. \displaystyle \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}
  3. \displaystyle \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6
  4. \displaystyle \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5
  5. \displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Wir müssen beachten, dass die Rechenregeln nur gelten, wenn \displaystyle a \ge 0 und \displaystyle b \ge 0. Wenn \displaystyle a und \displaystyle b beide negativ sind, sind die Wurzeln \displaystyle \sqrt{a} und \displaystyle \sqrt{b} nicht definiert (zumindest nicht als reelle Zahlen). Deshalb kann man zum Beispiel nicht

\displaystyle -1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1

schreiben. Und zwar deshalb, weil \displaystyle \sqrt{-1} keine reelle Zahl ist und die Rechenregeln für Wurzeln daher nicht definiert sind.


B - Allgemeine Wurzeln

Die Kubikwurzel von \displaystyle a wird durch die Zahl definiert, die mit sich selbst drei Mal multipliziert \displaystyle a ergibt, und wird \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{a} geschrieben.

Beispiel 3

  1. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad nachdem \displaystyle 2 \cdot 2 \cdot 2=8.
  2. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad nachdem \displaystyle 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}027.
  3. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad nachdem \displaystyle (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8.

Zum Unterschied von Quadratwurzeln sind Kubikwurzeln auch für negative Zahlen definiert.

Für jede positive Zahl \displaystyle n kann man die \displaystyle n-te Wurzel definieren:

  • Wenn \displaystyle n gerade und \displaystyle a\ge0 ist, ist \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} die nicht negative Zahl, die hoch \displaystyle n \displaystyle a ergibt,
  • Wenn \displaystyle n ungerade ist, ist \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} die Zahl, die hoch \displaystyle n \displaystyle a ergibt,

Die Wurzel \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} kann auch als \displaystyle a^{1/n} geschrieben werden.

Beispiel 4

  1. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad nachdem \displaystyle 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625.
  2. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad nachdem \displaystyle (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243.
  3. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad ist nicht definiert, nachdem \displaystyle 6 gerade ist und \displaystyle -17 negativ ist.

Für die \displaystyle n-te Wurzel gelten dieselben Rechenregeln wir für die Quadratwurzel, falls \displaystyle a, \, b \ge 0. Falls \displaystyle n ungerade ist, gelten die Regeln auch für negative \displaystyle a und \displaystyle b, also für alle reellen Zahlen \displaystyle a und \displaystyle b.

\displaystyle \begin{align*}

\sqrt[\scriptstyle n]{ab} &= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt] \sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt] a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b} &= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb} \end{align*}

(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)

C - Vereinfachungen von Wurzelausdrücken

Oft können Ausdrücke, die Wurzeln enthalten, wesentlich vereinfacht werden. Generell will man einen Ausdruck mit so kleinen Wurzeln wie möglich erhalten. Zum Beispiel ist die folgende Vereinfachung sinnvoll.

\displaystyle \sqrt{8}

= \sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}

und ähnlich für die Division:

\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{2}

= \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\mbox{.}

Indem man Ausdrücke mit mehreren Termen Term für Term vereinfacht, kann man Terme mit derselben Wurzel addieren.

\displaystyle \sqrt{8} + \sqrt{2}

= 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\mbox{.}

Beispiel 5

  1. \displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}
  2. \displaystyle \frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}
  3. \displaystyle \sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\vphantom{\bigl(}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{45} + \sqrt{20}\vphantom{\bigl(}}{} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
  4. \displaystyle \sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
  5. \displaystyle \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}}{ \sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2}
  6. \displaystyle (\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1 Wo wir die binomische Formel \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 mit \displaystyle a=\sqrt{3} und \displaystyle b=\sqrt{2} benutzt haben.


D - Rationale Wurzelausdrücke

Wenn man rationale Wurzelausdrücke vereinfacht, will man so weit wie möglich Wurzeln im Nenner vermeiden. Im folgenden Fall können wir den Bruch zum Beispiel mit \displaystyle \sqrt{2} erweitern

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

.

Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der vorherige.

Wenn der Nenner aus zwei Wurzeln besteht, kann man die binomische Formel \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 benutzen, um den Bruch zu vereinfachen. Indem man den Bruch mit dem konjugierten Nenner erweitert, erhält man immer einen Bruch ohne Wurzeln im Nenner.

\displaystyle \begin{align*}

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt] &= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.} \end{align*}

Beispiel 6

  1. \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}
  2. \displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
  3. \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
  4. \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,) (\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2 -(\sqrt{3}\,)^2}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\vphantom{\Biggl(}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3} \vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung


Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Die Quadratwurzel ist immer nicht-negativ, das heißt, positiv oder null.

Die Rechenregeln für Wurzeln sind nur Spezialfälle der Rechenregeln für Potenzen.

Zum Beispiel: \displaystyle \sqrt{x}=x^{1/2}.


Literaturhinweise

Für die, die sich genauer mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Mehr über Wurzeln in der Wikipedia

Warum wissen wir, dass Wurzel 2 kein Bruch ist? (engl.)


Nützliche Websites

Wie findet man die Wurzel einer Zahl ohne Taschenrechner? (engl.)

Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/3.1_Wurzeln“