3.1 Wurzeln
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Quadratische und allgemeine Wurzeln
- Wurzelausdrücke
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
- Die Quadratwurzel von kleinen ganzen Zahlen berechnen.
- Wissen, dass die Quadratwurzel nicht für negative Zahlen definiert ist.
- Wissen, dass die Quadratwurzel immer nicht-negativ ist.
- Wurzelausdrücke vereinfachen.
- Wissen, welche Vereinfachungen von Wurzeln gültig sind.
- Wissen, wann die n-te Wurzel von negativen Zahlen definiert ist.
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
A - Quadratwurzeln
Das schon bekannte Symbol a
Der Ausdruck 2=4
(−2)=4
4
4=
2
4
Die Quadratwurzel a
x2=
x
Die Quadratwurzel von 2
Deshalb ist es falsch, 4=
2
2
Beispiel 1
nachdem0=0
02=0 und0=0
0 nicht negativ ist. nachdem100=10
102=10 und10=100
10 eine positive Zahl ist.-
nachdem0
25=0
5
0 und52=0
5
0
5=0
25
0 eine positive Zahl ist.5
nachdem2
1
4142
1 und4142
1
4142
2
1 positiv ist.4142
- Die Gleichung
x2=2 hat die Wurzeln (Lösungen)x= und2
1
414
x=− .2
−1
414
ist nicht definiert, nachdem es keine reelle Zahl−4
x gibt, die, die Gleichungx2=−4 erfüllt. nachdem(−7)2=7
.(−7)2=
(−7)
(−7)=
49=
7
7=7
Nachdem die Quadratwurzel von a auch als a=a1
2
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Auf diese Weise können wir folgende Rechenregeln herleiten, die für alle reellen Zahlen b
0
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(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)
Beispiel 2
64
81=
64
81=8
9=72
925=
9
25=53
18
2=
18
2=
36=6
3
75=
375=
25=5
12=
4
3=
4
3=2
3
Wir müssen beachten, dass die Rechenregeln nur gelten, wenn 0
0
a
b
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schreiben. Und zwar deshalb, weil −1
B - Allgemeine Wurzeln
Die Kubikwurzel von 3a
Beispiel 3
nachdem38=2
2 .2
2=8
nachdem30
027=0
3
0 .3
0
3
0
3=0
027
nachdem3−8=−2
(−2) .(−2)
(−2)=−8
Zum Unterschied von Quadratwurzeln sind Kubikwurzeln auch für negative Zahlen definiert.
Für jede positive Zahl
- Wenn
n gerade unda ist, ist0
die nicht negative Zahl, die hochna
n a ergibt, - Wenn
n ungerade ist, ist die Zahl, die hochna
n a ergibt,
Die Wurzel na
n
Beispiel 4
nachdem4625=5
5 .5
5
5=625
nachdem5−243=−3
(−3) .(−3)
(−3)
(−3)
(−3)=−243
ist nicht definiert, nachdem6−17
6 gerade ist und−17 negativ ist.
Für die b
0
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(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)
C - Vereinfachungen von Wurzelausdrücken
Oft können Ausdrücke, die Wurzeln enthalten, wesentlich vereinfacht werden. Generell will man einen Ausdruck mit so kleinen Wurzeln wie möglich erhalten. Zum Beispiel ist die folgende Vereinfachung sinnvoll.
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und ähnlich für die Division:
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Indem man Ausdrücke mit mehreren Termen Term für Term vereinfacht, kann man Terme mit derselben Wurzel addieren.
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Beispiel 5
8
18=
2
9
2
4=
2
3
3
2
2
2=
2
32
2
22=3
22
2=32
6 72=2
3
8
9=2
3
2
2
2
3
3=2
3
22
32
2=2
32
3
2=
2
45+
20=
9
5+
4
5=
32
5+
22
5=3
5+2
5
=(3+2) 5=5
5
50+2
3−
32+
27=
5
10+2
3−
2
16+
3
9
= 5
2
5+2
3−
2
4
4+
3
3
3
= 52
2+2
3−
22
22
2+
3
32
=5 2+2
3−2
2
2+3
3
=(5−4) 2+(2+3)
3
= 2+5
3
3122
33=
33
42
33=2
33
33
34=2
34=2
32
2=2
32
32
32
32=22
32=
32
( Wo wir die binomische Formel3+
2)(
3−
2)=(
3)2−(
2)2=3−2=1
(a+b)(a−b)=a2−b2 mita= und3
b= benutzt haben.2
D - Rationale Wurzelausdrücke
Wenn man rationale Wurzelausdrücke vereinfacht, will man so weit wie möglich Wurzeln im Nenner vermeiden. Im folgenden Fall können wir den Bruch zum Beispiel mit 2
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Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der vorherige.
Wenn der Nenner aus zwei Wurzeln besteht, kann man die binomische Formel
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Beispiel 6
510
3=
5
510
3
5=510
15=2
15
21+
3=
2
2(1+
3)
2=2
2+
6
3 2−2=3(
2+2)(
2−2)(
2+2)=3
2+6(
2)2−22=2−43
2+6=−23
2+6
2
6+
3=
2(
6−
3)(
6+
3)(
6−
3)=(
6)2−(
3)2
2
6−
2
3
=6−3 2
2
3−
2
3=32
3−
2
3=3(2−
2)
3
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor
Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .
Tipps fürs Lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
Bedenken Sie folgendes:
Die Quadratwurzel ist immer nicht-negativ, das heißt, positiv oder null.
Die Rechenregeln für Wurzeln sind nur Spezialfälle der Rechenregeln für Potenzen.
Zum Beispiel: x=x1
2
Literaturhinweise
Für die, die sich genauer mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
Mehr über Wurzeln in der Wikipedia
Warum wissen wir, dass Wurzel 2 kein Bruch ist? (engl.)
Nützliche Websites
Wie findet man die Wurzel einer Zahl ohne Taschenrechner? (engl.)