3.3 Logarithmen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Inhalt:

  • Logarithmen
  • Die Logarithmengesetze

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Mit Basen und Exponenten rechnen
  • Die Bedeutung der Ausdrücke \displaystyle \ln, \displaystyle \lg, \displaystyle \log und \displaystyle \log_{a} kennen.
  • Einfache Logarithmen mit der Definition des Logarithmus berechnen.
  • Wissen, dass Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind.
  • Die Bedeutung der Zahl \displaystyle e kennen.
  • Die Logarithmengesetze verwenden, um logarithmische Ausdrücke zu vereinfachen.
  • Wissen, wann die Logarithmengesetze gültig sind.
  • Basis von Logarithmen ändern

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Logarithmus zur Basis 10

Oft verwendet man Potenzen mit der Basis \displaystyle 10, um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel:

\displaystyle \begin{align*}

10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\ 10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.} \end{align*}

Wenn man den Exponenten betrachten, sieht man, dass:

"der Exponent von 1000 3 ist", oder dass
"der Exponent von 0,01 -2 ist".

Genauso wird der Logarithmus definiert. Formaler geschrieben haben wir:

"Der Logarithmus von 1000 ist 3". Dies schreibt man \displaystyle \lg 1000 = 3,
"Der Logarithmus von 0.01 ist -2". Dies schreibt man \displaystyle \lg 0\textrm{.}01 = -2.

Allgemeiner gilt folgendes:

Der Logarithmus einer Zahl \displaystyle y wird \displaystyle \lg y genannt und ist der Exponent, der die Gleichung
\displaystyle 10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.}

erfüllt. \displaystyle y muss eine positive Zahl sein, damit der Logarithmus \displaystyle \lg y definiert sein soll, nachdem eine Potenz mit einer positiven Basis (wie 10) immer positiv ist.

Beispiel 1

  1. \displaystyle \lg 100000 = 5\quad denn \displaystyle 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}} = 100\,000
  2. \displaystyle \lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}} = 0\textrm{.}0001
  3. \displaystyle \lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}
  4. \displaystyle \lg 1 = 0\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1
  5. \displaystyle \lg 10^{78} = 78\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}} = 10^{78}
  6. \displaystyle \lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50
  7. \displaystyle \lg (-10) existiert nicht, da \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}} nie -10 werden kann, egal wie man \displaystyle a wählt

Im Beispiel oben kann man leicht sehen, dass \displaystyle \lg 50 zwischen 1 und 2 liegen muss, nachdem \displaystyle 10^1 < 50 < 10^2. Um einen genaueren Wert von \displaystyle \lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots zu erhalten, braucht man aber einen Taschenrechner.

Beispiel 2

  1. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 100} = 100
  2. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg a} = a
  3. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 50} = 50


B - Verschiedene Basen

Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man \displaystyle \log_{\,2} und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2".

Beispiel 3

  1. \displaystyle \log_{\,2} 8 = 3\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8.
  2. \displaystyle \log_{\,2} 2 = 1\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2.
  3. \displaystyle \log_{\,2} 1024 = 10\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024.
  4. \displaystyle \log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.

Die Rechnungen mit anderen Basen als 2 sind ganz ähnlich.

Beispiel 4

  1. \displaystyle \log_{\,3} 9 = 2\quad denn \displaystyle 3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9.
  2. \displaystyle \log_{\,5} 125 = 3\quad denn \displaystyle 5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125.
  3. \displaystyle \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad denn \displaystyle 4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}.
  4. \displaystyle \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad denn \displaystyle b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}} = \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}} (wenn \displaystyle b>0 und \displaystyle b\not=1).

Wenn man zur Basis 10 rechnet, schreibt man selten \displaystyle \log_{\,10}, sondern man schreibt ganz einfach lg oder log.


C - Der natürliche Logarithmus

Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl \displaystyle e \displaystyle ({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,). Die Logarithmen zur Basis e werden natürliche Logarithmen genannt. Statt \displaystyle \log_{\,e} schreibt man \displaystyle \ln, wenn man natürliche Logarithmen berechnet.

Beispiel 5

  1. \displaystyle \ln 10 \approx 2{,}3\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10.
  2. \displaystyle \ln e = 1\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e.
  3. \displaystyle \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{e^3}.
  4. \displaystyle \ln 1 = 0\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1.
  5. Wenn \displaystyle y= e^{\,a} dann ist \displaystyle a = \ln y.
  6. \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5
  7. \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x

Die meisten guten Taschenrechner können 10-Logarithmen und natürliche Logarithmen berechnen.


D - Logarithmengesetze

In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen der Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle mit Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann und danach die Zahl aus dem Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).

Beispiel 6

Berechnen Sie \displaystyle \,35\cdot 54.

Wenn wir wissen, dass \displaystyle 35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} und \displaystyle 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324} (also \displaystyle \lg 35 \approx 1\textrm{.}5441 und \displaystyle \lg 54 \approx 1\textrm{.}7324), können wir das Produkt einfach berechnen:

\displaystyle

35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324} = 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324} = 10^{\,3\textrm{.}2765}\,.

Wenn wir auch wissen, dass \displaystyle 10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890 (also \displaystyle \lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765) haben wir es geschafft, das Produkt

\displaystyle 35 \cdot 54 = 1890

nur mit Addition der Exponenten \displaystyle 1\textrm{.}5441 und \displaystyle 1\textrm{.}7324 zu berechnen.

Dies ist ein Beispiel der Logarithmengesetze, nämlich

\displaystyle \log (ab) = \log a + \log b

Dies kommt von den Rechenregeln für Potenzen. Einerseits haben wir

\displaystyle

a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}

aber anderseits haben wir auch

\displaystyle

a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}

Mit den Rechenregeln für Potenzen kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:

\displaystyle \begin{align*}

\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt] \log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt] \log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Die Logarithmengesetze gelten unabhängig von der Basis.

Beispiel 7

  1. \displaystyle \lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28
  2. \displaystyle \lg 6 - \lg 3 = \lg\frac{6}{3} = \lg 2
  3. \displaystyle 2 \cdot \lg 5 = \lg 5^2 = \lg 25
  4. \displaystyle \lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2

Beispiel 8

  1. \displaystyle \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0{,}001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3 = \lg 9- \lg 3 = \lg \displaystyle \frac{9}{3} = \lg 3
  2. \displaystyle \ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e} = \ln\left(\frac{1}{e} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\left( \frac{1}{(\sqrt{e}\,)^2} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\frac{1}{\sqrt{e}}
    \displaystyle \phantom{\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}}{} = \ln e^{-1/2} = -\frac{1}{2} \cdot \ln e =-\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\vphantom{\biggl(}
  3. \displaystyle \log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81 = \log_2 (6 \cdot 6) - \frac{1}{2} \log_2 (9 \cdot 9)
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) - \frac{1}{2} \log_2 (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2^2 \cdot 3^2) - \frac{1}{2} \log_2 (3^4)\vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 - \frac{1}{2} \log_2 3^4
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2 \log_2 2 + 2 \log_2 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 \log_2 3
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2\cdot 1 + 2 \log_2 3 - 2 \log_2 3 = 2\vphantom{\Bigl(}
  4. \displaystyle \lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a} = 3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}
    \displaystyle \phantom{\lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}}{} = (3-2)\lg a + (-1) \lg a = \lg a - \lg a = 0


E - Basis ändern

Manchmal will man Logarithmen in einer Basis als Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.

Beispiel 9

  1. Schreibe \displaystyle \lg 5 als einen natürlichen Logarithmus.

    Laut Definition ist \displaystyle \lg 5 die Zahl, die die Gleichung
    \displaystyle 10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}

    erfüllt. Indem wir den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten berechnen, erhalten wir

    \displaystyle \ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}

    Mit dem Logarithmengesetz \displaystyle \ln a^b = b \ln a schreiben wir die linke Seite wie \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 und bekommen die Gleichung

    \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}

    Division durch \displaystyle \ln 10 ergibt die Antwort

    \displaystyle

    \lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10} \qquad (\approx 0\textrm{.}699\,, \quad\text{also ist}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}

  2. Schreibe den 2-Logarithmus von 100 als einen 10-Logarithmus, lg.

    Laut Definition des Logarithmus steht fest, dass \displaystyle \log_2 100 die Gleichung
    \displaystyle 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100

    erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit dem 10-Logarithmus) und erhalten

    \displaystyle

    \lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}

    Nachdem \displaystyle \lg a^b = b \lg a, erhalten wir \displaystyle \lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 und die rechte Seite ist einfach \displaystyle \lg 100 = 2. Dies gibt die Gleichung

    \displaystyle

    \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}

    Mit Division durch \displaystyle \lg 2 ergibt sich, dass

    \displaystyle

    \log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2} \qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,, \quad\text{also ist}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}

Die allgemeine Formel, um die Basis von \displaystyle a zu \displaystyle b in Logarithmen zu ändern, lautet

\displaystyle

\log_{\scriptstyle\,a} x = \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a} \,\mbox{.}

Wenn wir zum Beispiel \displaystyle 2^5 zur Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 zur Basis 10

\displaystyle 2 = 10^{\lg 2}

und verwenden die Rechenregeln für Potenzen

\displaystyle

2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2} \quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}

Beispiel 10

  1. Schreibe \displaystyle 10^x zur natürlichen Basis e.

    Zuerst schreiben wir 10 zur Basis e,
    \displaystyle 10 = e^{\ln 10}

    und verwenden die Rechenregeln für Potenzen

    \displaystyle

    10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10} \approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}

  2. Schreibe \displaystyle e^{\,a} zur Basis 10

    Die Zahl \displaystyle e kann wie \displaystyle e=10^{\lg e} geschrieben, und daher ist
    \displaystyle

    e^a = (10^{\lg e})^a = 10^{\,a \cdot \lg e} \approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenke folgendes:

Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.

Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.


Literaturhinweise Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Mehr über Logarithmen in der Wikipedia

Mehr über die Zahl e im "The MacTutor History of Mathematics" Archiv (engl.)

Nützliche Websites

Experimente mit Logarithmen und Potenzen (engl.)

Spiel logarithmus Memory (engl.)

Hilf dem Frosch auf seine Seerose im "log"-Spiel (engl.)

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