3.2 Wurzelgleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Inhalt:

  • Gleichungen auf der Form \displaystyle \sqrt{ax+b}= cx +d
  • Scheinlösungen

Lernziele

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Einfache Wurzelgleichungen durch Quadrieren lösen.
  • Scheinlösungen erkennen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

Gleichungen mit Wurzeln

Es gibt viele verschiedene Arten von Wurzelgleichungen, zum Beispiel:

\displaystyle \sqrt{x} + 3x = 2\,,
\displaystyle \sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,
\displaystyle \sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}

Um Wurzelgleichungen zu lösen, vereinfacht man die Gleichung zuerst, sodass die Wurzeln nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen. Danach quadriert man die Gleichung (im Fall, wo wir Quadratwurzeln haben) und löst die quadratische Gleichung, die daraus entsteht. Bei diesem Schritt muss man aber bedenken, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung nicht unbedingt auch Lösungen der Wurzelgleichung sind. Nachdem positive und negative Zahlen nach dem Quadrieren positiv werden, entstehen sogenannte Scheinlösungen, welche die quadrierte Gleichung lösen, nicht aber die ursprüngliche Gleichung.

Beispiel 1

Wir betrachten folgende einfache Gleichung:

\displaystyle x = 2\mbox{.}

Wenn wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir

\displaystyle x^2 = 4\mbox{.}

Die neue Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x = 2 und \displaystyle x = -2. Die Lösung \displaystyle x = 2 erfüllt die ursprüngliche Gleichung, während die Lösung \displaystyle x = -2 die ursprüngliche Gleichung nicht löst. \displaystyle x = -2 ist also eine Scheinlösung, die durch das Quadrieren der ursprünglichen Gleichung entstand.

Beispiel 2

Löse die Gleichung \displaystyle \ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x.

Wir quadrieren die Gleichung auf beiden Seiten und erhalten

\displaystyle 4(x - 1) = (1 - x)^2

Wir multiplizieren die rechte Seite aus (binomischen Formel)

\displaystyle 4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir als

\displaystyle x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}

schreiben können. Diese Gleichung lösen wir mit quadratischer Ergänzung oder mit der allgemeinen Lösungsformel. Die Lösungen sind \displaystyle x = 3 \pm 2, also \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 5.

Nachdem wir die ursprüngliche Gleichung quadriert haben, besteht das Risiko, dass Scheinlösungen entstanden sind. Wir müssen daher testen, ob die beiden Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen

  • \displaystyle x = 1 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 1 = 0. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} = \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist erfüllt.
  • \displaystyle x = 5 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 5 = -4. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} \ne \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist nicht erfüllt.

Die Gleichung hat daher nur die eine Lösung \displaystyle x = 1.

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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung


Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Wenn man eine Gleichung quadriert, können Scheinlösungen entstehen, weil eventuelle negative Ausdrücke positiv werden. Deshalb sind die Lösungen der quadrierten Gleichung nicht unbedingt Lösungen der ursprünglichen Gleichung.


Du solltest immer testen, ob Deine Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Understanding Algebra - ein englischer Text im Web


Nützliche Websites

Was ist die Wurzel aus -? Webmath.com hilft Quadratwurzeln zu vereinfachen (eng.)


Von „http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/3.2_Wurzelgleichungen“