Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wenn wir den Ausdruck

\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})

erweitern, wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert, also

\displaystyle \begin{align} &(1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4})\\[3pt] &\qquad\quad{}=1\cdot 2+1\cdot (-x)+1\cdot x^{2}+1\cdot x^{4}+x\cdot 2+x\cdot (-x) \\ &\qquad\qquad\quad{}+x\cdot x^{2}+x\cdot x^{4}+x^{2}\cdot 2+x^{2}\cdot (-x)+x^{2}\cdot x^{2}+x^{2}\cdot x^{4} \\ &\qquad\qquad\quad{}+x^{3}\cdot 2+x^{3}\cdot (-x)+x^{3}\cdot x^{2}+x^{3}\cdot x^{4}\,\textrm{.} \end{align}

Falls wir wie in diesem Fall nur den x-Koeffizienten wissen wollen, genügt es wenn wir die Terme, die multipliziert einen x-Term ergeben, multiplizieren. In diesem Fall entspricht das 1 mal -x und x mal 2,

\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot (-x) + x\cdot 2 + \cdots

und also ist der Koeffizient von x : \displaystyle -1+2=1\,.

Den Koeffizienten von den \displaystyle x^2-Term finden wir, indem wir alle Terme, die multipliziert einen \displaystyle x^2-Term ergeben multiplizieren, also

\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3})(2-x+x^{2}+x^{4}) = \cdots + 1\cdot x^{2} + x\cdot(-x) + x^{2}\cdot 2 + \cdots

Der Koeffizient von \displaystyle x^2 ist also \displaystyle 1-1+2=2\,.