Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \frac{4x}{4x-7}-\frac{1}{2x-3}-1=0\,\textrm{.}

Danach erweitern wir alle Terme, damit sie einen gemeinsamen Nenner bekommen

\displaystyle \frac{4x}{4x-7}\cdot\frac{2x-3}{2x-3} - \frac{1}{2x-3}\cdot\frac{4x-7}{4x-7} - \frac{(2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)} = 0

und schreiben die linke Seite der Gleichung wie

\displaystyle \frac{4x(2x-3) - (4x-7) - (2x-3)(4x-7)}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}

Wir erweitern den Zähler

\displaystyle \frac{8x^{2}-12x-(4x-7)-(8x^{2}-14x-12x+21)}{(2x-3)(4x-7)} = 0

und vereinfachen ein wenig

\displaystyle \frac{10x-14}{(2x-3)(4x-7)}=0\,\textrm{.}

Hier muss der Zähler null sein, damit die Gleichung erfüllt sein soll

\displaystyle 10x-14=0\,,

Dies ergibt \displaystyle x=7/5\,.

Wir kontrollieren wie immer unsere Lösung:

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= \frac{4\cdot\frac{7}{5}}{4\cdot\frac{7}{5}-7} - \frac{1}{2\cdot\frac{7}{5}-3} = \{\,\text{wir erweitern mit 5}\,\}\\[5pt] &= \frac{4\cdot\frac{7}{5}}{4\cdot\frac{7}{5}-7}\cdot\frac{5}{5} - \frac{1}{2\cdot \frac{7}{5}-3}\cdot\frac{5}{5} = \frac{4\cdot 7}{4\cdot 7-7\cdot 5}-\frac{5}{2\cdot 7-3\cdot 5}\\[5pt] &= \frac{4}{4-5}-\frac{5}{14-15} = -4-(-5) = 1 = \text{Rechte Seite.} \end{align}