Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung

\displaystyle x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}

(*)

Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.

Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung

\displaystyle x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}

d.h.

\displaystyle x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}

Wir benutzen quadratische Ergänzung

\displaystyle \begin{align} x^2-13x+40 &= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{169}{4} + \frac{160}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{9}{4}\,\textrm{,} \end{align}

und erhalten die Gleichung

\displaystyle \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,

die die Lösungen

• \displaystyle x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,

• \displaystyle x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}

hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen \displaystyle x=5 und \displaystyle x=8 die quadratische Gleichung (*) erfüllen:

• x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1

• x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4

Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:

• x = 5: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1

• x = 8: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2

Also ist \displaystyle x=5 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während \displaystyle x=8 eine Scheinlösung ist.

Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.