Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle 3x-2 = (2-x)^2\,.

(*)

Wir erweitern die rechte Seite und erhalten

\displaystyle x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align} x^{2}-7x+6 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{24}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{25}{4} \end{align}

Also kann die Gleichung wie

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}

geschrieben werden und hat deshalb die Wurzeln

• \displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,

• \displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}

Ersetzen wir \displaystyle x=1 und \displaystyle x=6 in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind.

• x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1

• x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16

Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken.

• x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1

• x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4

Also hat die Gleichung die Lösung \displaystyle x=1\,.