Processing Math: 62%
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
No jsMath TeX fonts found -- using image fonts instead.
These may be slow and might not print well.
Use the jsMath control panel to get additional information.
jsMath Control PanelHide this Message

jsMath

12.2 Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess

SamverkanLinalgLIU

Hoppa till: navigering, sök
       12.1          12.2          12.3      


Läs textavsnitt 12.2 Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess.


Innan Du börjar arbeta med detta moment så kan Du visualisera Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Innehåll

[göm]

Övning 13.9

Bestäm en ON-bas för underrummet W=[(2101)t(4−513)t]R4.

Svar | Tips och lösning


Övning 13.10

Låt

W=[(121−1)t(1010)t]E4

Dela upp =(1111)t i en summa av två vektorer där den ena ligger i W och den andra är ortogonal mot W.

Svar | Tips och lösning


Övning 13.11

Låt

W=[(12000)t(10300)t]E5

Bestäm en ON-bas för det ortogonala komplementet W till W.

Svar | Tips och lösning



Övning 13.12

Låt W=[(1111)t(2020)t]E4.

a) Bestäm en ON-bas för W.

b) Utvidga ON-basen i W till en ON-bas för hela E4.

c) Låt =(0440)t. Bestäm ortogonala projektionerna PW()=W och PW()=W.

d) Bestäm avståndet från punkten (0440) till W.

e) Låt =(x1x2x3x4)t. Bestäm ortogonala projektionen PW().

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c) | Tips och lösning till d) | Tips och lösning till e)



Övning 13.13

Låt W=[(1111)t(1221)t(2316)t].

a) Ange en ekvation för W.

b) Bestäm först en ON-bas för W och utvidga sen till en ON-bas för hela E4.

c) Bestäm koordinaterna för =(2262)t i denna bas.

d) Dela upp i =W+W.

e) Låt =(2262)t och bestäm den vektor W som minimerar avståndet −, dvs ligger närmast .

f) Ange detta minimum.

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c) | Tips och lösning till d) | Tips och lösning till e) | Tips och lösning till f)



Övning 13.14

Låt W=R4: x1+2x2−x3+4x4=0.

a) Bestäm först en ON-bas för W och utvidga sen till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 .

b) Bestäm koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t i denna bas.

c) Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u} i \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^\perp} .

d) Låt \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,3,6,2)^t och bestäm den vektor \displaystyle \boldsymbol{w}\in W som minimerar avståndet \displaystyle ||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{w} ||, dvs ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} .

e) Ange detta minimum.

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c) | Tips och lösning till d) | Tips och lösning till e)



Övning 13.15

Sätt

\displaystyle

W=[(1,1,-1,-1)^t,(1,2,-1,-2)^t,(1,3,-1,-3)^t]\subset{\bf E}^4.

a) Bestäm en ON-bas i \displaystyle W .

b) Utvidga ON-basen i a) till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 .


c) Dela upp \displaystyle \boldsymbol{u}=(-1,1,1,1)^t i \displaystyle \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\perp W} , där \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W och \displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp W}\in W^{\perp} .

Svar | Tips och lösning till a) | Tips och lösning till b) | Tips och lösning till c)


Övning 13.16

Vilken vektor i

\displaystyle

[(1,1,1,-1)^t,(-1,1,3,-1)^t,(1,0,-1,0)^t]\subset{\bf E}^4

ligger närmast \displaystyle (1,2,3,2)^t ?

Svar | Tips och lösning



Övning 13.17

Bestäm en ON-bas för \displaystyle {\bf E}^4 , där så många som möjligt av baselementen tillhör

\displaystyle

W=\{\boldsymbol{x}\in{\bf E}^4:\ x_1-x_2+x_3+x_4=0,\quad x_1-x_2+2x_3+x_4=0\}.

Svar | Tips och lösning

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/12.2_Gram-Schmidt_ortogonaliseringsprocess