16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (12 september 2011 kl. 14.41) (redigera) (ogör)
 
(9 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.1 Definition av linjär avbildning|16.1]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.2 Matrisframställning|16.2]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.3 Projektion och spegling|16.3]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.4 Plan rotation|16.4]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.5 Rotation i rummet|16.5]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.6 Sammansatta linjära avbildningar|16.6]]}}
 +
{{Mall:Vald flik|[[16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen|16.7]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.8 Basbyte|16.8]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.9 Linjära avbildningar och basbyte|16.9]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.10 Projektioner och speglingar med basbyte|16.10]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[16.11 Rotationer|16.11]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
 +
|}
 +
 +
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/5/5b/Kap16_7.pdf 16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen]
Läs textavsnitt [http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/img_auth.php/5/5b/Kap16_7.pdf 16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen]
-
'''Övningar'''
 
 +
'''''Innan Du börjar arbeta med detta moment så kan Du visualisera projektion av nollrum och värderum genom att klicka på bilden.'''''
 +
 +
<imagemap>
 +
Bild:NVRum.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/NVRum.jnlp Du kan visualisera projektion av nollrum och värderum]
 +
</imagemap>
 +
 +
 +
 +
'''''Du kan visualisera spegling av nollrum och värderum genom att klicka på bilden.'''''
 +
 +
<imagemap>
 +
Bild:NVRumSpegl.png|450px|alt=Alt text
 +
default [http://webcourses.itn.liu.se/webkurs/NVRumSpegl.jnlp Du kan visualisera spegling av nollrum och värderum]
 +
</imagemap>
 +
 +
 +
 +
'''Övningar'''
-
17.20. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i basen <math>\boldsymbol{e}</math> ges av matrisen
+
17.20. Låt <math>F</math> vara en avbildning på rummet som i HON-basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> ges av matrisen
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).</math></center>
<center><math> A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).</math></center>
# Bestäm <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>.
# Bestäm <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>.
# Visa <math>N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}</math>.
# Visa <math>N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}</math>.
-
# Hur avbildas vektorerna i och <math>V(F)</math>?
+
# Hur avbildas vektorerna i och <math>V(F)</math>?<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-->{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 17.20|
Svar|Svar till övning 17.20|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.20}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.20}}
 +
17.21. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen
17.21. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen
<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)</math></center>
<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)</math></center>
-
och <math>G</math> är ortogonal projektion på linjen <math>\underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t</math>. Bestäm <math>V(F)\cap N(G)</math>.
+
och <math>G</math> är ortogonal projektion på linjen <math>\underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t</math>. Bestäm <math>V(F)\cap N(G)</math>.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-->{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 17.21|
Svar|Svar till övning 17.21|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.21}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.21}}
Rad 25: Rad 61:
17.22. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen
17.22. Avbildningen <math>F</math> på rummet ges i ON-basen <math>\boldsymbol{e}</math> av matrisen
<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).</math></center>
<center><math>\left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).</math></center>
-
Bestäm baser för <math>N(F)</math>, <math>V(F)</math>, <math>N(F)\cap V(F)</math>, <math>N(F^2)</math> och <math>V(F^2)</math>.
+
Bestäm baser för <math>N(F)</math>, <math>V(F)</math>, <math>N(F)\cap V(F)</math>, <math>N(F^2)</math> och <math>V(F^2)</math>.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-->{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 17.22|
Svar|Svar till övning 17.22|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.22}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.22}}
 +
17.23. Givet en ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> i <math>{\bf E}^3</math>. I denna bas ges avbildningen <math>F</math> av matrisen
17.23. Givet en ON-bas <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> i <math>{\bf E}^3</math>. I denna bas ges avbildningen <math>F</math> av matrisen
<center><math>\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).</math></center>
<center><math>\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).</math></center>
-
Inför en ny bas bestående av vektorer ur <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>. Ange sambandet för <math>F</math> i den nya basen. Tolka <math>F</math> geometriskt.
+
Inför en ny bas bestående av vektorer ur <math>N(F)</math> och <math>V(F)</math>. Ange sambandet för <math>F</math> i den nya basen. Tolka <math>F</math> geometriskt.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-->{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 17.23|
Svar|Svar till övning 17.23|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.23}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.23}}
Rad 42: Rad 79:
17.24. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> avbildar de tre vektorerna <math>(1,2,1)^t</math>,
17.24. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math> avbildar de tre vektorerna <math>(1,2,1)^t</math>,
<math>(1,1,-1)^t</math> och <math>(-1,0,1)^t</math> på resp.
<math>(1,1,-1)^t</math> och <math>(-1,0,1)^t</math> på resp.
-
<math>(1,3,1)^t</math>, <math>(3,1,2)^t</math> och <math>(5,-1,3)^t</math>. Bestäm också värderummet <math>V(F)</math>.
+
<math>(1,3,1)^t</math>, <math>(3,1,2)^t</math> och <math>(5,-1,3)^t</math>. Bestäm också värderummet <math>V(F)</math>.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-->{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 17.24|
Svar|Svar till övning 17.24|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.24}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.24}}
- 
Rad 53: Rad 89:
<center><math> F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).</math></center>
<center><math> F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).</math></center>
# Visa att <math>F</math> är en linjär avbildning på <math>M_{22} </math>.
# Visa att <math>F</math> är en linjär avbildning på <math>M_{22} </math>.
-
# Bestäm dim <math>N(F)</math> samt en bas i <math>N(F)</math>.
+
# Bestäm dim <math>N(F)</math> samt en bas i <math>N(F)</math>.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-->{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 17.25|
Svar|Svar till övning 17.25|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.25}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.25}}
Rad 63: Rad 99:
<center><math>N(F)=[(1,1,1)^t] </math></center>
<center><math>N(F)=[(1,1,1)^t] </math></center>
och
och
-
<center><math>V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t]. </math></center>
+
<center><math>V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t]. </math></center><!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-->{{#NAVCONTENT:
Svar|Svar till övning 17.26|
Svar|Svar till övning 17.26|
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.26}}
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.26}}
-
7. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen
+
 
 +
17.27. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen
<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}
<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}
</math></center>
</math></center>
-
Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att dim <math>V(F)=1</math> och ange i så fall en bas för <math>V(F)</math>.
+
Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att dim <math>V(F)=1</math> och ange i så fall en bas för <math>V(F)</math>.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 7|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 7|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 7|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 7|
+
-
Lösning|Lösning till övning 7}}
+
-
8. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen
+
-->{{#NAVCONTENT:
 +
Svar|Svar till övning 17.27|
 +
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.27}}
 +
 
 +
 
 +
17.28. Den linjära avbildningen <math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math> ges i en given bas av matrisen
<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}
<center><math> \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}
</math></center>
</math></center>
-
Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att <math>N(F)\cap V(F)\neq\emptyset</math>.
+
Ange alla reella tal <math>a</math> sådana att <math>N(F)\cap V(F)\neq\emptyset</math>.<!--
-
{{#NAVCONTENT:
+
 
-
Svar|Svar till övning 8|
+
-->{{#NAVCONTENT:
-
Tips 1|Tips 1 till övning 8|
+
Svar|Svar till övning 17.28|
-
Tips 2|Tips 2 till övning 8|
+
Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.28}}
-
Tips 3|Tips 3 till övning 8|
+
 
-
Lösning|Lösning till övning 8}}
+
 
 +
'''Reflektionsuppgifter'''
 +
 
 +
1. Beskriv <math>V(F)</math> med hjälp av avbildningsmatrisen.
 +
 
 +
2. Om det<math>A=0</math> (<math>A</math> är avbildningens matris ) så innebär det att kolonnerna i <math>A</math> är linjärt beroende.Vad innebär det för dim<math>V(F)</math>?
 +
 
 +
3. Hur kan du med hjälp av avbildningens matris avgöra dim<math>V(F)</math> respektive dim<math>N(F)</math>?
-
9. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen
+
4. Låt nollrummet vara tomt. Vad betyder det för dim<math>V(F)</math> resp dim<math>N(F)</math>?
-
<math>F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3</math>
+
-
som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}</math>
+
-
avbildar de tre vektorerna <math>(1,2,1)^t</math>, <math>(1,1,-1)^t</math> och <math>(-1,0,1)^t</math> på
+
-
<math>(1,3,1)^t</math>, <math>(3,1,2)^t</math> resp. <math>(5,-1,3)^t</math>. Bestäm också <math>V(F)</math>.
+
-
{{#NAVCONTENT:
+
-
Svar|Svar till övning 9|
+
-
Tips 1|Tips 1 till övning 9|
+
-
Tips 2|Tips 2 till övning 9|
+
-
Tips 3|Tips 3 till övning 9|
+
-
Lösning|Lösning till övning 9}}
+

Nuvarande version

       16.1          16.2          16.3          16.4          16.5          16.6          16.7          16.8          16.9          16.10          16.11      


Läs textavsnitt 16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen


Innan Du börjar arbeta med detta moment så kan Du visualisera projektion av nollrum och värderum genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Du kan visualisera spegling av nollrum och värderum genom att klicka på bilden.

alt=Alt textBildinformation


Övningar

17.20. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i HON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).
  1. Bestäm \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F).
  2. Visa \displaystyle N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}.
  3. Hur avbildas vektorerna i och \displaystyle V(F)?
Svar
Svar till övning 17.20
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.20


17.21. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)

och \displaystyle G är ortogonal projektion på linjen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t. Bestäm \displaystyle V(F)\cap N(G).

Svar
Svar till övning 17.21
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.21


17.22. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).

Bestäm baser för \displaystyle N(F), \displaystyle V(F), \displaystyle N(F)\cap V(F), \displaystyle N(F^2) och \displaystyle V(F^2).

Svar
Svar till övning 17.22
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.22


17.23. Givet en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} i \displaystyle {\bf E}^3. I denna bas ges avbildningen \displaystyle F av matrisen

\displaystyle \frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).

Inför en ny bas bestående av vektorer ur \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F). Ange sambandet för \displaystyle F i den nya basen. Tolka \displaystyle F geometriskt.

Svar
Svar till övning 17.23
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.23


17.24. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} avbildar de tre vektorerna \displaystyle (1,2,1)^t, \displaystyle (1,1,-1)^t och \displaystyle (-1,0,1)^t på resp. \displaystyle (1,3,1)^t, \displaystyle (3,1,2)^t och \displaystyle (5,-1,3)^t. Bestäm också värderummet \displaystyle V(F).

Svar
Svar till övning 17.24
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.24


17.25. Låt \displaystyle M_{22} vara vektorrummet av alla \displaystyle 2\times matriser. Definiera avbildningen \displaystyle F genom

\displaystyle F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).
  1. Visa att \displaystyle F är en linjär avbildning på \displaystyle M_{22} .
  2. Bestäm dim \displaystyle N(F) samt en bas i \displaystyle N(F).
Svar
Svar till övning 17.25
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.25


17.26. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 med

\displaystyle N(F)=[(1,1,1)^t]

och

\displaystyle V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t].
Svar
Svar till övning 17.26
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.26


17.27. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att dim \displaystyle V(F)=1 och ange i så fall en bas för \displaystyle V(F).

Svar
Svar till övning 17.27
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.27


17.28. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att \displaystyle N(F)\cap V(F)\neq\emptyset.

Svar
Svar till övning 17.28
Tips och lösning
Tips och lösning till övning 17.28


Reflektionsuppgifter

1. Beskriv \displaystyle V(F) med hjälp av avbildningsmatrisen.

2. Om det\displaystyle A=0 (\displaystyle A är avbildningens matris ) så innebär det att kolonnerna i \displaystyle A är linjärt beroende.Vad innebär det för dim\displaystyle V(F)?

3. Hur kan du med hjälp av avbildningens matris avgöra dim\displaystyle V(F) respektive dim\displaystyle N(F)?

4. Låt nollrummet vara tomt. Vad betyder det för dim\displaystyle V(F) resp dim\displaystyle N(F)?

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/16.7_Nollrum%2C_V%C3%A4rderum_och_dimensionssatsen