SamverkanLinalgLIU

Versionen från 25 mars 2010 kl. 07.30 (redigera) Tek (Diskussion | bidrag) (Lagt in navigeringstabbar) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 9 april 2010 kl. 11.23 (redigera) (ogör) Oweka (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 67:		Rad 67:
	Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.24}}		Tips och lösning|Tips och lösning till övning 17.24}}
		+	[http://webstaff.itn.liu.se/~geoba/TNA002/webkurs/NVRum.jnlp Nollrum och värderum för en ortogonal projektion]
	17.25. Låt <math>M_{22} </math> vara vektorrummet av alla <math>2\times</math> matriser. Definiera avbildningen <math>F</math> genom		17.25. Låt <math>M_{22} </math> vara vektorrummet av alla <math>2\times</math> matriser. Definiera avbildningen <math>F</math> genom

---

Versionen från 9 april 2010 kl. 11.23

16.1

16.2

16.3

16.4

16.5

16.6

16.7

16.8

16.9

16.10

16.11

Läs textavsnitt 16.7 Nollrum, Värderum och dimensionssatsen

Övningar

17.20. Låt \displaystyle F vara en avbildning på rummet som i HON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} ges av matrisen

\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 3& -1& -1\\ 2& 0& -1\\ 4& -2& -1\end{array}\right).

1. Bestäm \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F).
2. Visa \displaystyle N(F)\cap V(F)=\boldsymbol{0}.
3. Hur avbildas vektorerna i och \displaystyle V(F)?

17.21. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 2& -1& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1&0 \end{array}\right)

och \displaystyle G är ortogonal projektion på linjen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}[(1,1,1)]^t. Bestäm \displaystyle V(F)\cap N(G).

17.22. Avbildningen \displaystyle F på rummet ges i ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e} av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{rrr} 1& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ 1& 2&-3 \end{array}\right).

Bestäm baser för \displaystyle N(F), \displaystyle V(F), \displaystyle N(F)\cap V(F), \displaystyle N(F^2) och \displaystyle V(F^2).

17.23. Givet en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} i \displaystyle {\bf E}^3. I denna bas ges avbildningen \displaystyle F av matrisen

\displaystyle \frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} -2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1&-2 \end{array}\right).

Inför en ny bas bestående av vektorer ur \displaystyle N(F) och \displaystyle V(F). Ange sambandet för \displaystyle F i den nya basen. Tolka \displaystyle F geometriskt.

17.24. Bestäm matrisen till den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} avbildar de tre vektorerna \displaystyle (1,2,1)^t, \displaystyle (1,1,-1)^t och \displaystyle (-1,0,1)^t på resp. \displaystyle (1,3,1)^t, \displaystyle (3,1,2)^t och \displaystyle (5,-1,3)^t. Bestäm också värderummet \displaystyle V(F).

Nollrum och värderum för en ortogonal projektion

17.25. Låt \displaystyle M_{22} vara vektorrummet av alla \displaystyle 2\times matriser. Definiera avbildningen \displaystyle F genom

\displaystyle F(A)=\left(\begin{array}{rr} 1&1 \\0 &0 \end{array}\right)A+A\left(\begin{array}{rr} 0&0 \\ 1& 1\end{array}\right).

1. Visa att \displaystyle F är en linjär avbildning på \displaystyle M_{22} .
2. Bestäm dim \displaystyle N(F) samt en bas i \displaystyle N(F).

17.26. Konstruera en matris som representerar en linjär avbildning \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 med

\displaystyle N(F)=[(1,1,1)^t]

och

\displaystyle V(F)=[(1,0,0)^t,(1,1,0)^t].

17.27. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1& a+3& a\\ a& 3a+1& 1\\ 2& 4a+4& a+1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att dim \displaystyle V(F)=1 och ange i så fall en bas för \displaystyle V(F).

17.28. Den linjära avbildningen \displaystyle F:{\bf R}^3\rightarrow{\bf R}^3 ges i en given bas av matrisen

\displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 2& 2& 2a\\ a& -1& 1\end{array}\right),\qquad a\in{\bf R}

Ange alla reella tal \displaystyle a sådana att \displaystyle N(F)\cap V(F)\neq\emptyset.

Reflektionsuppgifter

1. Beskriv \displaystyle V(F) med hjälp av avbildningsmatrisen.

2. Om det\displaystyle A=0 (\displaystyle A är avbildningens matris ) så innebär det att kolonnerna i \displaystyle A är linjärt beroende.Vad innebär det för dim\displaystyle V(F)?

3. Hur kan du med hjälp av avbildningens matris avgöra dim\displaystyle V(F) respektive dim\displaystyle N(F)?

4. Låt nollrummet vara tomt. Vad betyder det för dim\displaystyle V(F) resp dim\displaystyle N(F)?