Testsida2
Förberedande kurs i matematik
| (24 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 156: | Rad 156: | ||
|a) | |a) | ||
| <math>\text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z})</math> | | <math>\text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z})</math> | ||
| + | |- | ||
|b) | |b) | ||
| - | | <math>\ | + | | <math>\text{Im}(z)=\text{Im}(\bar{z})</math> |
| + | |- | ||
|c) | |c) | ||
| - | | <math>\ | + | | <math>\text{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z})</math> |
| + | |- | ||
|d) | |d) | ||
|<math>\bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w}</math> | |<math>\bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w}</math> | ||
| + | |- | ||
|e) | |e) | ||
| - | |<math>\bar{z}+\bar{w}=2\ | + | |<math>\bar{z}+\bar{w}=2\text{Re}(z)+2\text{Re}(w)-z-w</math> |
|} | |} | ||
| - | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.9.4a | Svar b) | Svar 1.9.4b | Svar c) | Svar 1.9.4c | Svar d) | Svar 1.9.4d | Svar e) | Svar 1.9.4e}} | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 1.9.4a | Svar b) | Svar 1.9.4b | Svar c) | Svar 1.9.4c | Svar d) | Svar 1.9.4d | Svar e) | Svar 1.9.4e | Lösning a)| Lösning 1.9.4a | Lösning b) | Lösning 1.9.4b | Lösning c) | Lösning 1.9.4c | Lösning d) | Lösning 1.9.4d | Lösning e) | Lösning 1.9.4e}} |
| - | + | ===Övning 2.1.2=== | |
| - | + | <div class="ovning"> | |
| - | + | Hur många reella rötter har följande polynom? | |
| - | + | {| width="100%" cellspacing="10px" | |
| - | + | |a) | |
| - | + | | <math>3x+2</math> | |
| - | + | | | |
| - | + | |b) | |
| - | + | | <math>x^2-2x-3</math> | |
| - | + | | | |
| - | + | |c) | |
| - | + | | <math>x^2+4x+5</math> | |
| - | + | |} | |
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 2.1.2a | Svar b) | Svar 2.1.2b | Svar c) | Svar 2.1.2c | Lösning a)| Lösning 2.1.2a | Lösning b) | Lösning 2.1.2b | Lösning c) | Lösning 2.1.2c}} | |
| - | + | ||
| - | + | ===Övning 2.1.3=== | |
| - | + | <div class="ovning"> | |
| - | + | Är 3 ett polynom? | |
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.3 | Lösning | Lösning 2.1.3}} | |
| - | + | ||
| - | + | ===Övning 2.1.4=== | |
| - | + | <div class="ovning"> | |
| - | + | Polynom kan som bekant även ha komplexa koefficienter. Hitta rötterna till | |
| - | 2 | + | <math>x^2+ix</math>. |
| - | + | ||
| - | + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 2.1.4 | Lösning a)| Lösning 2.1.4}} | |
| + | |||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.5=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Finn rötterna till dessa polynom genom att faktorisera. | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | | <math>x^2-4</math> | ||
| + | | | ||
| + | |b) | ||
| + | | <math>x^2-6x+9</math> | ||
| + | | | ||
| + | |c) | ||
| + | | <math>x^3+4x^2+4x</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a)| Svar 2.1.5a | Svar b) | Svar 2.1.5b | Svar c) | Svar 2.1.5c | Lösning a)| Lösning 2.1.5a | Lösning b) | Lösning 2.1.5b | Lösning c) | Lösning 2.1.5c}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.6=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Lös ekvationen <math>-2x^2+10x=12</math> med hjälp av pq-formeln. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.6a | Lösning| Lösning 2.1.6a}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.8=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Låt <math>p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15</math> . Hitta alla dess rötter. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.8a | Lösning| Lösning 2.1.8a}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1.9=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Förenkla <math> (x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \cdots (x-z) \cdot (x-å) \cdot (x-ä)\cdot (x-ö) </math> | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar a| Svar 2.1.9 | Lösning | Lösning 2.1.9}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.2.1=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Låt <math>x^2+ax+b</math> vara ett polynom. Vad ska koefficienterna <math>a</math> och <math>b</math> vara för att 2 och 5 ska vara rötter till polynomet? | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar| Svar 2.1.7a | Lösning| Lösning 2.1.7a}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ===Övning 2.3.1=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Du är direktör för en loppcirkus och skall för årets uppvisning välja ut 7 stycken av dina 12 loppor. Du behöver 2 jonglörer, 4 clowner och 1 levande kanonkula. 6 av dina loppor kan vara antingen jonglör eller kanonkula, 7 st. kan vara clowner, och mästerloppan kan uppträda som allt. På hur många olika sätt kan du välja en uppsättning av loppor för uppvisningen? | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 2.3.1 | Lösning | Lösning 2.3.1}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.3.2=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Du och din vän har handlat mat och har fyllt sju kassar som ni skall bära hem. På hur många sätt kan ni bära kassarna om du vill se till så att varje hand som du och din vän har åtminstone håller i en kasse? (Antag att du har två händer och din vän likaså) | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 2.3.2 | Lösning | Lösning 2.3.2}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.3.3=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Låt oss definiera en talföljd som kallas Fibonaccitalen som följande. <math>a_0=1 </math> , <math> a_1 = 1 </math> och för att hitta nästa tal i följden, <math> a_2= a_1+a_0 =2</math>. Generellt så sätter vi att <math> a_n = a_{n-1}+a_{n-2} </math>. Bevisa nu att <math> \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} = a_{n+1} </math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar | Svar 2.3.3 | Lösning | Lösning 2.3.3}} | ||
===Övning 3.1.1=== | ===Övning 3.1.1=== | ||
Nuvarande version
Övning 1.2.1
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle 4^{3/2} | b) | \displaystyle \displaystyle 8^{1/3} | c) | \displaystyle \displaystyle 9^{-1/2} | d) | \displaystyle \displaystyle \sqrt{0,25} | e) | \displaystyle \displaystyle 4^{1,5} |
Hämtar...Övning 1.2.2
Vilken är störst, \displaystyle 1343488^{3/2+4/3-17/6} eller \displaystyle 3/2?
Övning 1.2.3
Beräkna \displaystyle 2^{2+1}+3^{6/2}+(2+3)^3+3444^{7^0}
Övning 1.4.1
Beräkna följande
| a) | 18 modulo 7 | b) | 345332233 modulo 2 | c) | 156 modulo 29 | d) | 334 modulo 10 |
Övning 1.4.2
Beräkna följande
| a) | \displaystyle 36+23 | b) | \displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)} | c) | \displaystyle 5^{345}+55 |
Övning 1.4.2
Beräkna följande
| a) | \displaystyle 36+23 | b) | \displaystyle 36^{129}+2186^{(5^2\cdot8/2-100)} | c) | \displaystyle 5^{345}+55 |
Övning 1.5.1
Kovertera följande tal till bas 5.
| a) | \displaystyle 4 | b) | \displaystyle 5 | c) | \displaystyle 125 | d) | \displaystyle 68 |
Övning 1.5.2
Beräkna \displaystyle 1002_3-234_5 och ge svaret i bas 8.
Tips: Konvertera talen till bas 10.
Övning 1.8.1
Beräkna
| a) | \displaystyle \displaystyle (1+2i) \left( 2-\frac{i}{4} \right) | b) | \displaystyle \displaystyle (3-2i)(4+i-(6-2i)) |
Övning 1.8.2
Vad är realdelen/imaginärdelen till
| a) | \displaystyle \displaystyle -1+5i | b) | \displaystyle \displaystyle -\pi i |
Övning 1.8.3
Det finns inget reellt tal som kvadrerat blir \displaystyle -1, och därför införde man talet \displaystyle i, definierat som \displaystyle \sqrt{-1}.
Men löser det egentligen problemet? Förskjuter vi inte bara problemet till att bestämma vad \displaystyle \sqrt{i} blir?
Inte riktigt: undersök ekvationen \displaystyle (a+bi)^2=i, där \displaystyle a och \displaystyle b är reella tal.
Tips: Kom ihåg att om två komplexa tal är lika, så är även realdelarna lika, och imaginärdelarna är lika!
Övning 1.8.4
Vad blir \displaystyle \frac{1}{i} för något?
Tips: Pröva att förlänga bråket med något!
Övning 1.9.2
Förkorta \displaystyle \displaystyle \frac{x^2+4xy+4y^2}{x^2-4y^2} så lång som möjligt.
Övning 1.9.3
Faktorisera
| a) | \displaystyle \displaystyle x^2+1 | b) | \displaystyle \displaystyle x^2+y^2 |
Övning 1.9.4
Låt \displaystyle z=a+bi och \displaystyle w=c+di vara godtyckliga komplexa tal. Avgör vilka av följande påståenden stämmer:
| a) | \displaystyle \text{Re}(z)=\text{Re}(\bar{z}) |
| b) | \displaystyle \text{Im}(z)=\text{Im}(\bar{z}) |
| c) | \displaystyle \text{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\bar{z}) |
| d) | \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=\overline{z+w} |
| e) | \displaystyle \bar{z}+\bar{w}=2\text{Re}(z)+2\text{Re}(w)-z-w |
Övning 2.1.2
Hur många reella rötter har följande polynom?
| a) | \displaystyle 3x+2 | b) | \displaystyle x^2-2x-3 | c) | \displaystyle x^2+4x+5 |
Övning 2.1.3
Är 3 ett polynom?
Övning 2.1.4
Polynom kan som bekant även ha komplexa koefficienter. Hitta rötterna till \displaystyle x^2+ix.
Övning 2.1.5
Finn rötterna till dessa polynom genom att faktorisera.
| a) | \displaystyle x^2-4 | b) | \displaystyle x^2-6x+9 | c) | \displaystyle x^3+4x^2+4x |
Övning 2.1.6
Lös ekvationen \displaystyle -2x^2+10x=12 med hjälp av pq-formeln.
Övning 2.1.8
Låt \displaystyle p(x) = 4ix^3-12x^2 +5ix-15 . Hitta alla dess rötter.
Övning 2.1.9
Förenkla \displaystyle (x-a) \cdot (x-b) \cdot (x-c) \cdots (x-z) \cdot (x-å) \cdot (x-ä)\cdot (x-ö)
Övning 2.2.1
Låt \displaystyle x^2+ax+b vara ett polynom. Vad ska koefficienterna \displaystyle a och \displaystyle b vara för att 2 och 5 ska vara rötter till polynomet?
Övning 2.3.1
Du är direktör för en loppcirkus och skall för årets uppvisning välja ut 7 stycken av dina 12 loppor. Du behöver 2 jonglörer, 4 clowner och 1 levande kanonkula. 6 av dina loppor kan vara antingen jonglör eller kanonkula, 7 st. kan vara clowner, och mästerloppan kan uppträda som allt. På hur många olika sätt kan du välja en uppsättning av loppor för uppvisningen?
Övning 2.3.2
Du och din vän har handlat mat och har fyllt sju kassar som ni skall bära hem. På hur många sätt kan ni bära kassarna om du vill se till så att varje hand som du och din vän har åtminstone håller i en kasse? (Antag att du har två händer och din vän likaså)
Övning 2.3.3
Låt oss definiera en talföljd som kallas Fibonaccitalen som följande. \displaystyle a_0=1 , \displaystyle a_1 = 1 och för att hitta nästa tal i följden, \displaystyle a_2= a_1+a_0 =2. Generellt så sätter vi att \displaystyle a_n = a_{n-1}+a_{n-2} . Bevisa nu att \displaystyle \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} = a_{n+1} .
Övning 3.1.1
Låt \displaystyle A=\{1,2,4\} och \displaystyle B=\{3,4\}. Bestäm
| a) | \displaystyle \displaystyle A\cup B | b) | \displaystyle \displaystyle A\cap B | c) | \displaystyle \displaystyle A\setminus B | d) | \displaystyle \displaystyle B \setminus A |
Övning 3.1.2
Bestäm om följande funktioner är injektiva respektive surjektiva.
| a) | \displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle f(x)= x^2. | |
| b) | \displaystyle g:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x)= -x-3.
\displaystyle \mathbb{R}_+ definieras som \displaystyle \mathbb{R}_+ = \{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}. | |
| c) | \displaystyle h:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle h(x) = -\sqrt{x}. | |
| d) | \displaystyle r definierad genom \displaystyle r(x) = f(g(x)). | |
| e) | \displaystyle s definierad genom \displaystyle s(x) = f(h(x)). |
Övning 3.1.3
Låt \displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} så att \displaystyle f(x)=x^2 och \displaystyle g:\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0\} \rightarrow \mathbb{R} så att \displaystyle g(x) = -\sqrt{x}. Bestäm målmängd, definitionsmängd, värdemängd, surjektivitet och injektivitet för följande funktioner:
| a) | \displaystyle f |
| b) | \displaystyle g |
| c) | \displaystyle h(x) = f(g(x)). |
