2.1 Linjärkombination

Övning 3.1

Vi vet att =3, =4 och =5. Beräkna skalärprodukten .

Övning 3.2

För vilka värden på a är vektorerna =a−21 och =2aa−4 ortogonala?

Övning 3.3

Bestäm en enhetsvektor i yz-planet som är vinkelrät mot vektorn =12−1.

Övning 3.4

Bestäm en vektor som bildar lika stora vinklar med vektorerna 1=111, 2=110 och 3=100.

Övning 3.5

Antag att =2−36 och =122.

1. Bestäm projektionen av på samt dess längd, dvs samt .
2. Bestäm samt .

Övning 3.6

Låt =221. Dela upp vektorn =7−23 som en summa

=+

där är parallell med vektorn och är ortogonal mot .

Övning 3.7

Bestäm vinkeln mellan vektorerna och då man vet att +3 är ortogonal mot 2− och +7 är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}.

Övning 3.8

Antag att \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. Undersök om

kan skrivas som en linjärkombination i mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\}.

Övning 3.9

Antag att \displaystyle \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. Låt \displaystyle U vara mängden av alla linjärkombinationer av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2.

a) Bestäm \displaystyle U. Skissa och tolka \displaystyle U geometriskt.

b) Undersök om vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}_1, \displaystyle \boldsymbol{u}_2 och \displaystyle \boldsymbol{u}_3 i Övning 3.8 tillhör mängden \displaystyle U i a).

c) Låt \displaystyle \lambda och \displaystyle \mu vara två godtyckliga reella tal. Visa att linjärkombinationen \displaystyle \lambda\boldsymbol{u}_1 + \mu\boldsymbol{u}_3\in U. En sådan mängd \displaystyle U kommer vi att kalla för underrum i Kapitel 10.2.

d) Bestäm alla vektorer som inte ligger i \displaystyle U.

Övning 3.10

Antag att \displaystyle \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{u}_3=\begin{pmatrix}-9\\-7\\-3\end{pmatrix} som i Övning 3.8. Låt \displaystyle V vara mängden av alla linjärkombinationer av \displaystyle \boldsymbol{u}_1 och \displaystyle \boldsymbol{u}_3.

a) Bestäm och tolka \displaystyle V geometriskt.

b) Låt \displaystyle U vara som i Övning 3.9. Hur förhåller sig \displaystyle U och \displaystyle V till varandra? Förklara!

Övning 3.11

Antag att \displaystyle \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix} och \displaystyle \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix} som i Övning 3.8. Låt \displaystyle W vara mängden av alla linjärkombinationer av \displaystyle \boldsymbol{u}_1 och \displaystyle \boldsymbol{u}_2.

a) Bestäm och tolka \displaystyle W geometriskt.

b) Låt \displaystyle U vara som i Övning 3.9. Bestäm snittmängden \displaystyle U\cap W, dvs mängden av alla gemensamma vektorer som ligger i både \displaystyle U och \displaystyle W. Skissa \displaystyle U, \displaystyle W och \displaystyle U\cap W i samma figur.