1.5 Addition av hastigheter
Relativitetsteori
Innehåll:
Detta avsnitt handlar om hur hastigheter adderar sig i Newtonsk fysik. Om en partikel har en viss hastighet \displaystyle \bar u , kan vi byta referenssystem och få den att ha en annan hastighet \displaystyle \bar w i det nya referenssystemet. Frågan är hur \displaystyle \bar w beror av hastigheten \displaystyle \bar u och det nya referenssystemets relativa hastighet, \displaystyle \bar v .
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du kunna:
- Addera hastigheter i Newtonsk mekanik,
- Byta hastighet på en partikel genom att byta referenssystem.
- Observera att hastigheten är en vektor, dvs har både längd (storlek) och riktning.
Galileitransformationerna i avsnittet ovan kan
generaliseras till \displaystyle x,y,z, och
\displaystyle t, om vi låter hastighetesvektorn
\displaystyle {\bar{v}} vara en godtycklig konstant
vektor, med komponenterna \displaystyle v_x,v_y och
\displaystyle v_z. Detta illustreras i bilden ovan. Om vi med andra ord mäter läget
hos kroppen efter tiden \displaystyle t, så har
observatören \displaystyle O' i \displaystyle S'
rört sig mot kroppen en sträcka \displaystyle {\bar v}t. Koordinaterna \displaystyle {\bar x}' i
\displaystyle S' är därför mindre än koordinaten
\displaystyle \bar x i \displaystyle S med
storleken \displaystyle {\bar v}t.
- Men varför är \displaystyle t'=t?
- Jo, det hänger samman med Newtons uppfattning att
tiden \displaystyle t är universell och flyter
konstant oberoende av någonting yttre med samma
hastighet. Man kan naturligtvis ifrågasätta detta, men
det svarar mot den allmänna uppfattningen att tiden är
densamma i hela universum och att samtidighet för två
händelser därför är ett universellt begrepp. Vi kan
illustrera detta schematiskt med ett diagram som i
figuren nedan. I denna figur är rummet bara tvådimensionellt,
eftersom det är svår att rita fyrdimensionella
bilder. Men varje plan svarar mot hela rummet vi en viss
tidpunkt på den vertikala tidsaxeln. Med andra ord har
vi samma tid i hela rummet i varje ögonblick.
Som sammanfattning av ovanstående diskussion kan vi
därför säga att Newtonsk mekanik i allmänhet inte kan
ligga till grund för ett experiment där vi kan avgöra
om vi är i vila eller rör oss med konstant
hastighet. Med andra ord: all rörelse är relativ. Detta
är den första relativitetsteorin, den Galileiska
relativiteten. Den gäller med stor erfarenhet i de
flesta sammanhang vi upplever till vardags.
Den klassiska, Newtonska fysikens lagar är därför
invarianta under de speciella Galileitransformationerna
ovan, vilket vi nu skall visa matematiskt. Andraderivatan av \displaystyle x'(t') = x'(t) kan
beräknas på följande sätt:
| (1.11) |
och
| (1.12) |
Eftersom \displaystyle dt'/dt = 1/(dt/dt') = 1, kan vi derivera ytterligare en gång och får då
| (1.13) |
eftersom \displaystyle dv/dt =0 om hastigheten \displaystyle v = konstant. Vi ser alltså att accelerationen är den samma i de båda koordinatsystemen, och därmed är Newtons lag \displaystyle F=ma invariant.
Ekvation 1.11 säger att hastigheten \displaystyle u(t)=dx(t)/dt transformeras enligt
| (1.14) |
under Galileitransformationer.
Galileitransformationerna kan naturligtvis utvidgas
till att omfatta även rotationer och translationer, och
Newtons ekvationer är invarianta under sådana allmänna
Galileitransformationer. De besitter med andra ord en
galileisymmetri: om vi förändrar beskrivningen med en
Galileitransformation märker vi ingen skillnad i
rörelseekvationerna. Eller återigen uttryckt på ett
annat sätt: två observatörer som rör sig med konstant
hastighet i förhållande till varandra kommer att få
samma beskrivning av Newtons ekvationer i sin
respektive system.
Övningsuppgift
Ett flygplan rör sig med konstant hastighet 400 km/h åt öster. Inuti flygplanet kastar en passagerare en boll i planets färdriktning med hastigheten 30 km/h relativt flygplanet. Vilken är bollens hastighet relativt marken?