1.5 Addition av hastigheter

Relativitetsteori

Hoppa till: navigering, sök

Innehåll:
Detta avsnitt handlar om hur hastigheter adderar sig i Newtonsk fysik. Om en partikel har en viss hastighet \displaystyle \bar u , kan vi byta referenssystem och få den att ha en annan hastighet \displaystyle \bar w i det nya referenssystemet. Frågan är hur \displaystyle \bar w beror av hastigheten \displaystyle \bar u och det nya referenssystemets relativa hastighet, \displaystyle \bar v .

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du kunna:

  • Addera hastigheter i Newtonsk mekanik,
  • Byta hastighet på en partikel genom att byta referenssystem.
  • Observera att hastigheten är en vektor, dvs har både längd (storlek) och riktning.


Bild:Koordinatsystem.gif


Galileitransformationerna i avsnittet ovan kan generaliseras till \displaystyle x,y,z, och \displaystyle t, om vi låter hastighetesvektorn \displaystyle {\bar{v}} vara en godtycklig konstant vektor, med komponenterna \displaystyle v_x,v_y och \displaystyle v_z. Detta illustreras i bilden ovan. Om vi med andra ord mäter läget hos kroppen efter tiden \displaystyle t, så har observatören \displaystyle O' i \displaystyle S' rört sig mot kroppen en sträcka \displaystyle {\bar v}t. Koordinaterna \displaystyle {\bar x}' i \displaystyle S' är därför mindre än koordinaten \displaystyle \bar x i \displaystyle S med storleken \displaystyle {\bar v}t.


- Men varför är \displaystyle t'=t?


- Jo, det hänger samman med Newtons uppfattning att tiden \displaystyle t är universell och flyter konstant oberoende av någonting yttre med samma hastighet. Man kan naturligtvis ifrågasätta detta, men det svarar mot den allmänna uppfattningen att tiden är densamma i hela universum och att samtidighet för två händelser därför är ett universellt begrepp. Vi kan illustrera detta schematiskt med ett diagram som i figuren nedan. I denna figur är rummet bara tvådimensionellt, eftersom det är svår att rita fyrdimensionella bilder. Men varje plan svarar mot hela rummet vi en viss tidpunkt på den vertikala tidsaxeln. Med andra ord har vi samma tid i hela rummet i varje ögonblick.

Bild:slices.gif


Som sammanfattning av ovanstående diskussion kan vi därför säga att Newtonsk mekanik i allmänhet inte kan ligga till grund för ett experiment där vi kan avgöra om vi är i vila eller rör oss med konstant hastighet. Med andra ord: all rörelse är relativ. Detta är den första relativitetsteorin, den Galileiska relativiteten. Den gäller med stor erfarenhet i de flesta sammanhang vi upplever till vardags.


Den klassiska, Newtonska fysikens lagar är därför invarianta under de speciella Galileitransformationerna ovan, vilket vi nu skall visa matematiskt. Andraderivatan av \displaystyle x'(t') = x'(t) kan beräknas på följande sätt:

\displaystyle \frac{dx'(t')}{dt'} = \frac{dx'(t)}{dt}
 \frac{dt}{dt'} = \frac{dt}{dt'} \left(
 \frac{dx(t)}{dt} -v \right)
(1.11)

och

\displaystyle \frac{dt'}{dt}=1.
(1.12)

Eftersom \displaystyle dt'/dt = 1/(dt/dt') = 1, kan vi derivera ytterligare en gång och får då

\displaystyle \frac{d^2x'(t')}{dt'^2} = \frac{d^2x(t)}{dt^2},
(1.13)

eftersom \displaystyle dv/dt =0 om hastigheten \displaystyle v = konstant. Vi ser alltså att accelerationen är den samma i de båda koordinatsystemen, och därmed är Newtons lag \displaystyle F=ma invariant.


Ekvation 1.11 säger att hastigheten \displaystyle u(t)=dx(t)/dt transformeras enligt

\displaystyle u(t) \rightarrow u'(t')=u(t)-v
(1.14)

under Galileitransformationer.

Bild:Additionhast2.gif Addition av hastigheter enligt ekv. (1.14). I övre diagrammet rör sig \displaystyle S' längs positiva x-axeln i \displaystyle S med hastigheten \displaystyle v mot objektet. Den nya hastigheten \displaystyle u'(t') i \displaystyle S' blir därför mindre än \displaystyle u(t). När hastigheten \displaystyle v blir lika stor som hastigheten \displaystyle u(t), kommer objektet vara i vila i \displaystyle S' och \displaystyle u'(t')= 0 . I undre diagrammet rör sig \displaystyle S' med hastigheten \displaystyle -v längs x-axeln i \displaystyle S, dvs bort från objektet, och hastigheten \displaystyle u'(t') i \displaystyle S' är större än \displaystyle u(t).


Galileitransformationerna kan naturligtvis utvidgas till att omfatta även rotationer och translationer, och Newtons ekvationer är invarianta under sådana allmänna Galileitransformationer. De besitter med andra ord en galileisymmetri: om vi förändrar beskrivningen med en Galileitransformation märker vi ingen skillnad i rörelseekvationerna. Eller återigen uttryckt på ett annat sätt: två observatörer som rör sig med konstant hastighet i förhållande till varandra kommer att få samma beskrivning av Newtons ekvationer i sin respektive system.

Övningsuppgift

Ett flygplan rör sig med konstant hastighet 400 km/h åt öster. Inuti flygplanet kastar en passagerare en boll i planets färdriktning med hastigheten 30 km/h relativt flygplanet. Vilken är bollens hastighet relativt marken?